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Équation y'=ay
Dans cette méthode, on apprend à résoudre une équation différentielle de premier ordre à coefficient constant, c'est-à-dire une équation du type y' = y. On commence par étudier l'équation différentielle 3y' = 2y en la divisant par 3 pour obtenir y' = (2/3)y. On reconnaît alors la forme y' = y, avec a = 2/3. D'après le cours, on sait que les solutions de cette équation sont de la forme k * e^(ax), soit k * e^(2/3*x) où k est une constante réelle.
Ensuite, on nous demande de tracer les courbes solutions de cette équation, en variant la constante k. Plus k augmente, plus la courbe se décolle de l'axe des x, car il s'agit d'une exponentielle avec une constante multiplicative. Toutes les courbes ont donc la même allure.
Enfin, on nous demande de trouver la courbe parmi celles-ci qui vérifie f(1) = e. On sait que, pour une équation différentielle avec une condition particulière, il existe une unique solution qui satisfait à la fois l'équation différentielle et la condition particulière. Ici, on veut que f(1) = e, ce qui nous permet de trouver la valeur de k. On suppose que f(x) est de la forme k * e^(2/3*x), on évalue cette expression en x = 1 et on obtient k * e^(2/3) = e. Après résolution, on trouve k = e^(1/3). Donc, la solution recherchée est f(x) = e^(1/3) * e^(2/3*x).
C'est une méthode classique pour résoudre une équation différentielle du type y' = y avec une condition initiale. Si vous avez d'autres questions, vous pouvez consulter la FAQ.
