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Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Équations Différentielles

Dans ce cours, nous apprenons comment résoudre une équation différentielle de la forme y' = y + phi. Comparé à l'équation y' = y + b, la différence entre b et phi est que b est une constante tandis que phi est une fonction qui peut varier. Cela rend la résolution un peu plus complexe pour trouver la solution particulière.

La méthode générale de résolution reste la même : nous devons d'abord trouver une solution particulière en résolvant l'équation sans l'équation homogène (y' = y), puis nous ajoutons la solution homogène.

La différence ici est que nous ne cherchons pas une solution particulière sous forme constante. Pour cela, nous avons besoin d'un petit indice fourni dans l'énoncé. Dans cet exemple, on nous demande de vérifier que la fonction p(x) est une solution de l'équation 2. Nous prenons p(x) comme un polynôme, calculons sa dérivée et vérifions si 2p'(x) + 6p(x) est égal à x^2 + 2x - 1. Après les calculs, nous constatons que p(x) est bien une solution.

Ensuite, on nous demande de montrer que si f est une solution de l'équation E, cela équivaut à dire que f - p est une solution de l'équation E'. Nous remplaçons x^2 + 2x - 1 par 2p'(x) + 6p(x) dans l'équation pour montrer cette équivalence. En factorisant, nous obtenons 2f'(x) - 2p'(x) + 6f(x) - 6p(x) = 0. De là, nous obtenons que f - p est une solution de l'équation E', où E' est l'équation homogène.

Nous résolvons ensuite l'équation E', qui est une équation différentielle que nous connaissons bien : linéaire à coefficient constant de premier ordre sans seconde membre. Nous l'isolons pour obtenir Y' = -3y et reconnaissons une forme de type Y' = Y avec A = -3. En utilisant ce que nous avons dit précédemment sur f - p, nous isolons f sous la forme A*e^(-3x) + p(x). Finalement, nous trouvons que f est de la forme A*e^(-3x) + (1/6)*x^2 + (2/9)*x - 13/54.

Nous remarquons qu'il y a toujours une constante de multiplication inconnue. Pour la trouver, nous aurions besoin de conditions particulières dans la fonction, que nous ne possédons pas ici. Cependant, nous pouvons conclure que les fonctions de la forme A*e^(-3x) + (1/6)*x^2 + (2/9)*x - 13/54 sont toutes des solutions de l'équation différentielle.

Cela résume le cours sur la résolution des équations différentielles du type y' = y + phi, où phi est une fonction non constante.

On va regarder maintenant comment résoudre une équation différentielle du type y'est égal à y plus phi Donc on avait déjà vu comment résoudre y'est égal à y plus b C'est quoi la différence entre b et phi ? C'est que b c'est une constante, phi c'est une fonction qui n'est pas constante a priori Donc là ça va être un tout petit peu plus compliqué pour trouver la solution particulière N'oublions pas la méthode, c'est toujours la même C'est je trouve une solution particulière, je résouds l'équation sans l'équation homogène du type y'est égal à y et je fais la somme des deux La seule différence ici c'est pour trouver la solution particulière où je ne vais pas chercher une solution particulière sous une forme constante Donc là j'ai besoin d'un petit indice et c'est l'énoncé qui me le donne Il me dit vérifier que la fonction p de x est solution de l'équation 2 Voilà ça c'est très simple, je prends p de x tel qu'il est C'est un polynôme donc évidemment il est bien dérivable, je calcule sa dérivée Et là je regarde si il est solution, c'est à dire qu'il faut que 2p' plus 6p doit être égal à x² plus 2x moins 1 Donc voilà je calcule 2p' plus 6p, je fais les calculs, je passe assez vite J'ai entouré en jaune les coefficients en x, en vert les coefficients en x² et les coefficients constants en violet C'est ça le but du jeu, c'est de tout quand on a des sommes de polynômes On essaye de ranger le tout par puissance comme ça on s'y retrouve beaucoup mieux Donc je les ordonne par puissance et je trouve x² plus 2x moins 1 Quand je fais la somme de 2, c'est exactement ce que je voulais Donc conclusion, p est bien solution de cette équation Ensuite on me demande de montrer que f est solution de E équivaut à f moins p solution de E' Et E' qui est l'équation sans le second ordre Donc si f est solution de E, ça veut dire quoi ? Ça veut dire que j'aurai 2f' plus 6f qui doit être égal à x² plus 2x moins 1 Or x² plus 2x moins 1, j'ai vu que ça faisait 2p' plus 6p puisque p est bien solution de E Donc je sais que je peux remplacer ce x² plus x moins 1 par 2p' plus 6p Et ensuite je mets tout ça de l'autre côté Donc je retranche, ça me fait 2f' moins 2p' plus 6f moins 6p égal à 0 Je factorise, la dérivée de la somme c'est la somme des dérivées Donc ça fait 2 fois f moins p' plus 6f moins p égal à 0 Donc du coup j'ai bien f moins p qui est solution de E' où E' c'est 2y' plus 6y égal à 0 Donc j'ai bien f moins p qui est solution de ça Ensuite grâce à ça on en déduit les solutions de E Donc ce qui est bien c'est que E' c'est une équation différentielle que je connais bien qui est linéaire à coefficient constant de premier ordre sans plus de seconde membre Donc je vais la résoudre, je vais la résoudre, je sais la résoudre Donc je la mets sous la forme que j'aime bien, c'est à dire que j'isole le Y' et ça me fait Y' égale moins 3y Je reconnais une forme de type Y' égale Y avec A égale à moins 3 Et ça je sais du coup que les solutions sont de la forme A E de moins 3x avec A un réel Et donc comme on a vu juste avant, on a dit que si f est solution, c'est à dire que f moins p est solution de E' Et donc je sais que f moins p, d'après ce que je viens de dire, est de la forme A E de moins 3x Moi je connais p, ce que je cherche c'est f, du coup je disole f C'est à dire que f c'est A E de moins 3x plus p que je fais passer de l'autre côté ici Et donc c'est de la forme A E de moins 3x plus 1 sixième de x carré plus 2 neuvième de x moins 13 sur 54 Là une petite remarque sur les équivalences qui est importante Comme j'ai raisonné par équivalence, je sais que si f est solution de E' équivaut que f est comme ça Avec A qui appartient à f Si j'avais raisonné simplement par application, j'aurais dû vérifier que réciproquement toutes les fonctions de cette forme sont bien solution Là j'ai pas besoin de le faire parce que comme j'ai raisonné par équivalence, je sais très bien que ces fonctions f de cette forme là sont bien solution On remarque qu'on a toujours la constante multiplicative qui est inconnue Pour la trouver, je vais avoir besoin comme d'habitude de conditions particulières dans ma fonction que je n'ai pas ici Donc voilà pour cette méthode pour résoudre les équations différentielles du type y prime égal à y plus phi Où phi n'est pas une constante mais une fonction

Équation y'=ay+φ

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