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Solution particulière plus difficile
Dans ce cours, nous examinons comment résoudre l'équation différentielle y'-2y = xe^2x de manière SEO conviviale.
Nous commençons par observer que l'expression xe^2x ressemble à un produit entre x et e^2x. Nous essayons donc de trouver une solution particulière de la forme ax + b. Cependant, nous réalisons que cette tentative peut échouer car l'expression ne correspond pas exactement à ce que nous avons identifié.
Ensuite, nous envisageons une autre possibilité en utilisant une fonction quadratique g(x) = ax^2 + bx + c. Si notre tentative précédente a échoué, nous essayons cette fois-ci une fonction quadratique. Nous expliquons pourquoi cela peut être nécessaire en utilisant notre expérience : lorsque l'équation à résoudre est égale à zéro et a une solution du type e^2x, nous constatons que généralement, nous devons augmenter le degré de la fonction pour trouver une solution. C'est pourquoi nous ne pouvons pas trouver une fonction g(x) qui satisferait l'équation.
Nous encourageons les étudiants à ne pas paniquer lorsqu'ils sont confrontés à ce genre de situation. L'étape suivante consiste simplement à réessayer avec une fonction polynomiale de degré 2. Dans notre cas, nous choisissons g(x) = ax^2 + bx + c et constatons que certains termes disparaissent lors de la résolution. Cela est facilement compréhensible si l'on se rappelle que le terme x^2 dans g(x) disparaissait lors de la tentative précédente avec une fonction plus simple.
La valeur de c n'affecte pas la solution, nous choisissons donc c = 0 pour simplifier nos calculs. Ainsi, nous trouvons une solution g(x) qui est approximativement de degré 2 fois l'exponentielle de 2x. La solution générale est alors donnée par y(x) = k*e^(2x) + (x^2/2)*e^(2x), où k est une constante réelle qui variera en fonction des conditions initiales. En forme réduite, nous avons y(x) = (k + x^2/2)*e^(2x).
Il est important de noter que la forme réduite de la solution permet une interprétation plus intuitive des termes constants et exponentiels. Veillez également à adapter cette solution en fonction du contexte et des conditions initiales spécifiques.
