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Théorème fondamental : Démo
Dans cette vidéo, nous démontrons le théorème fondamental de l'analyse, qui nous permet de comprendre intuitivement le théorème fondamental. Le théorème affirme que si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b], alors la fonction F définie comme l'intégrale de f entre a et x est dérivable et a pour dérivée f.
Nous commençons par rappeler la définition de F(x) comme étant l'intégrale de f entre a et x. Nous remarquons également que F(a) est l'intégrale de f entre a et a, ce qui est nul car c'est l'intégrale d'une fonction sur une largeur nulle.
En utilisant cette définition, nous démontrons que toute fonction continue sur un intervalle [a, b] possède des primitives sur cet intervalle. Cela découle du fait que toute fonction continue a au moins une primitive.
Ensuite, nous entamons la démonstration directe du théorème fondamental. Pour montrer que F est dérivable en x, nous devons étudier la limite du taux d'accroissement. Nous souhaitons que cette limite soit égale à f(x).
Nous prenons un x quelconque dans l'intervalle [a, b] et définissons le taux d'accroissement comme la limite lorsque h tend vers 0 de [F(x+h) - F(x)] / h.
Nous simplifions cette expression en utilisant des propriétés des intégrales. Nous remarquons que l'intégrale entre x et a de f est égale à l'intégrale entre a et x lorsque nous échangeons les bornes d'intégration.
Ensuite, nous utilisons la propriété de Schall pour dire que l'erreur entre x et x+h peut être remplacée par l'erreur entre x et a+h. Nous nous intéressons alors à cette erreur, que nous pouvons encadrer entre l'aire d'un rectangle vert et l'aire d'un rectangle bicolore composé du rectangle vert et d'une portion rouge.
En calculant les aires de ces rectangles, nous obtenons une expression de F(x+h) - F(x) que nous pouvons diviser par h.
Nous remarquons alors que cette expression est encadrée par f(x) et f(x+h). Comme f est une fonction continue, nous pouvons affirmer que la limite de f(x+h) lorsque h tend vers 0 est égale à f(x).
Ainsi, nous avons démontré que le taux d'accroissement de F en x a pour limite f(x), ce qui prouve que F est dérivable et a pour dérivée f.
En conclusion, cette démonstration du théorème fondamental de l'analyse nous montre que toute fonction continue et positive sur un intervalle possède des primitives sur cet intervalle. Cette démonstration utilise des propriétés des intégrales, l'approximation par des rectangles et le théorème d'encadrement pour arriver à cette conclusion.
