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Lien avec les Primitives

Ce cours porte sur la méthode du calcul intégral et explique comment calculer une intégrale en utilisant une primitive. Trouver une primitive peut être difficile, mais c'est l'enjeu principal de ce chapitre. Dans l'exemple donné, l'intégrale à calculer est celle de x² moins cos2x de 0 à pi. Pour résoudre cette intégrale, il faut d'abord trouver la primitive de chaque terme de la somme. La primitive de x² est x³ et la primitive de cos2x est ½ sin2x. En appliquant le théorème fondamental, on obtient que l'intégrale de 0 à pi de f2x dx est égale à f2x en pi moins f0, ce qui donne pi³/3. Il est important de faire attention aux signes lors de l'application du théorème fondamental, il est recommandé d'écrire les moins avec des parenthèses pour éviter les erreurs. En développant les calculs, on peut obtenir plus facilement le résultat final, qui est pi³/3 dans cet exemple.

Première méthode sur le calcul intégral, on va calculer notre premier intégral avec une primitive. Tout l'enjeu du chapitre d'intégration, souvent, ça va être de trouver une primitive, c'est ça le plus compliqué. C'est toujours facile de dériver, trouver une primitive, des fois, ce n'est pas simple. Donc ça va être l'enjeu, souvent, de ce chapitre. Donc là, on se propose de calculer une intégrale, avec cet exercice là. Quelle est la méthode à appliquer ? D'abord, je trouve une primitive, et une fois que j'ai trouvé la primitive, c'est gagné, j'applique le théorème fondamental. Pour cette intégrale-là, c'est l'intégrale de 0 à pi de x² moins cos2x. Je vais chercher une primitive, déjà, je remarque que c'est une somme. La primitive d'une somme, c'est la somme des primitives. Il suffit juste de trouver la primitive de x², moins la primitive de cos2x. Bon, ça c'est assez simple. Du coup, une primitive de x², c'est x3, une primitive de cos2x, c'est ½ de sin2x. C'est bien une primitive de f. Alors, remarque, une primitive de coskx, c'est 1 sur k sinx, que j'anticipe. Parce que, toujours l'idée, c'est de dire, quand je dérive le sinx, il y a un k qui va apparaître. C'est pour ça que je mets 1 sur k pour contrer ce truc-là. Si jamais vous avez un doute, on revérifie, je prends cette primitive, et on revérifie que quand je dérive, je tombe bien sur la fonction initiale. Donc là, j'applique tout simplement le théorème fondamental. L'intégrale de 0 à pi de f2x dx, c'est f2x en pi moins f0. Donc là, je remplace tout simplement, je fais les calculs. Alors, attention, parce que ça, c'est une erreur vraiment typique. Ne vous trompez pas dans les moins, là. Moi, ce que je vous recommande, c'est d'abord d'écrire le moins avec des parenthèses, et ensuite, je développe. Parce que, franchement, les erreurs de signes, en appliquant le théorème de fondamental, c'est un classique, vraiment, que les élèves, l'erreur, ils le font toujours. Vraiment, même les bons élèves, ils tombent toujours dans le panneau une fois ou deux. Donc, faites comme vous voulez. Moi, ce que je vous recommande, c'est de ne pas vraiment faire dans sa tête les calculs de moins en moins. Je l'écris, j'écris moins, je mets des parenthèses, et après, je le vois. C'est en développant que là, je peux faire les trucs. C'est beaucoup plus facile de faire les calculs qu'on a sous les yeux que dans la tête. Donc là, qu'est-ce que je remarque ? Je remarque que le sinus de pi, c'est 0. Effectivement, on s'en fiche un peu, ça fait sinus de 0, donc je n'ai pas de problème de signes puisque c'est 0, mais voilà le principe. Donc là, quand je simplifie tout, ça fait pi au cube sur 3. Donc j'ai calculé l'intégral. Voilà pour ce premier calcul d'intégral.

Calcul d'Intégrale avec Primitive

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