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Analyse Terminale

Lien avec les Primitives

Dans cette transcription vidéo, on étudie une méthode utilisant la linéarité de l'intégrale pour simplifier le calcul des primitives. On nous demande tout d'abord de montrer que la fonction F proposée est une primitive. Il suffit de dériver la fonction et de vérifier sa dérivabilité sur R, ce qui est assez simple car il s'agit d'un polynôme multiplié par une exponentielle. On obtient donc F de x en dérivant. Donc F est bien une primitive de la fonction donnée.

Ensuite, on nous demande de déterminer l'intégrale de 0 à 1 de 3x moins 2 E de x. Il y a une erreur dans l'énoncé de la question, car "t" est utilisé au lieu de "x". La vraie intégrale que nous voulons calculer est donc 3x moins 2 fois E de x. Dans ce cas, la règle à garder en tête est que lorsqu'un polynôme est multiplié par une exponentielle, on utilise systématiquement une IPP (intégration par parties), car l'objectif est de réduire le degré du polynôme.

Nous posons U de x égal à 3x moins 2, et sa dérivée est 3. Nous posons V égal à E de x, car la dérivée de V est également E de x. Nous avons donc les conditions nécessaires pour appliquer l'IPP. La dérivée de V est facile à primitiver car il s'agit de l'exponentielle.

En utilisant l'IPP, nous obtenons une expression pouvant être calculée rapidement. Ensuite, nous avons l'intégrale de 0 à 1 de 3E2x, ce qui est beaucoup plus simple à calculer. Nous pouvons sortir le 3 et il nous reste seulement à intégrer E2x. La primitive de cette fonction est également E2x, donc nous obtenons E2x entre 0 et 1. En effectuant le calcul, nous obtenons 2E5.

Pour résumer, lorsque nous avons un polynôme multiplié par une exponentielle, nous devons utiliser l'IPP. Dans cet exemple, nous avons utilisé cette méthode pour calculer facilement une intégrale. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser dans la faculté.

Dans cette méthode, on va utiliser la linéarité de l'intégrale l'intégrale de la sum égale à la summe des intégrales parce que c'est souvent beaucoup plus simple pour calculer les primitifs de séparer On nous fait étudier une fonction, f égale x de x Première question, on demande de montrer que la fonction F proposée est une primitive C'est vraiment la question cadeau, j'ai juste à dériver, c'est quand même facile de dériver Comme d'habitude, je justifie bien la dérivabilité sur R Pas de problème, c'est un polynomial fois une exponentielle Tout est dérivable sur R, aucun problème Dérivé d'un produit, je fais le calcul Je retombe sur x de x, ça fait F de x, ok parfait Donc c'est bien une primitive Du coup, on demande de déterminer l'intégrale de 0 à 1 de 3t moins 2 E de x de x Alors là, je l'ai laissé exprès pour que vous voyiez de temps en temps qu'il y a des erreurs dénoncées Là, c'est qui ce t ? Il débarque de nulle part, c'est sûr que c'est une erreur Ce t n'est pas du tout défini Donc là, ce n'est pas t qu'il voulait mettre, c'est x dans l'énoncé Donc la vraie intégrale qu'on veut, c'est 3x moins 2 fois E de x Donc là, tout l'enjeu comme d'habitude, c'est de trouver une primitive, ce n'est pas évident N'empêche qu'il y a une règle que vous pouvez toujours garder en tête C'est que quand j'ai un polynôme au point inexponentiel, là, systématiquement, je vais utiliser une IPP Parce que l'idée, ça va être de baisser le degré, quand je dérive un polynôme, ça fait baisser son degré Donc je vais faire baisser le degré de lui, et inexponentiel, c'est très facile à primitiver, ça ne pose pas de problème Donc je pose U de x égale 3x moins 2, sa dérivée c'est 3 V prime c'est E de x, alors là, en plus comme c'est E de x, V c'est la même chose Donc une primitive de 2x, c'est lui-même Donc là, j'ai bien les conditions pour une IPP V prime est facile à primitiver, là c'est l'exponentiel Et j'ai un intérêt à avoir du prime plutôt que de U Parce que là, il y a un degré inférieur, donc ça m'arrange de finalement calculer l'intégrale Donc je fais mon IPP, ça fait UV entre 0 et 1, moins l'intégrale de U prime V Donc je remplace tout simplement avec mes U et V Donc le terme entre crochets, ça c'est du calcul, je l'obtiens toujours assez vite Et ensuite j'ai l'intégrale de 0 et 1 de 3E2x, là c'est beaucoup mieux à calculer comme intégrale Donc je peux éventuellement sortir le 3, et finalement j'ai juste E2x à intégrer Donc la primitive est très simple, parce que c'est aussi E2x, donc on fait E2x entre 0 et 1 Et donc, je ne sais plus l'application numérique, ça fait E2-3E2x, je fais le calcul et il me reste 2E5 Donc là si on résume, ce qui est vraiment bien à retenir, c'est qu'on a un polynôme fois une exponentielle Vous pensez IPP, IPP, IPP Donc voilà pour cette méthode, pour appliquer tout ça, si vous avez des questions, n'hésitez pas dans la fac

Linéarité d'une Intégrale

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