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Révisions Maths lycée

Géométrie Terminale

PS et orthogonalité

Ce cours porte sur la géométrie dans l'espace et présente un exercice classique à résoudre. Dans cet exercice, ABCD et FGH représentent un cube de côté A. Le point M est le milieu du segment AB. 

Pour montrer que le triangle DHM est rectangle, on observe que DH est un vecteur normal pour le plan ABC, c'est-à-dire la face inférieure du cube.

Ensuite, pour déterminer la valeur de l'angle DMH en degrés arrondi à 0,01 près, on peut calculer le produit entre les vecteurs MH et MD, mais il est plus simple de remarquer que le triangle est rectangle. On peut donc utiliser les propriétés du triangle rectangle et dire que l'hypoténuse est HM. On peut alors calculer la longueur DM et utiliser la formule de la tangente pour trouver l'angle recherché. Peu importe la mesure du côté du cube, l'angle entre les points H, M et D reste le même. Ainsi, la longueur du côté n'intervient pas dans l'expression de l'angle.

En calculant la tangente inverse (ou arctangente) de DH/DM, on obtient la valeur de l'angle recherché.

Un autre petit exercice, assez facile, c'est un exercice de géométrie, plus qu'autre chose. Donc là-dedans c'est la géométrie pure en fait, il n'y a pas vraiment de produits scalaires. Mais je tombais dessus, je me suis dit que c'était un bon classique, qu'il fallait savoir faire et maîtriser. Donc c'est la géométrie assez classique, mais vue dans l'espace. Donc assez rapide, mais bien de savoir le faire. Donc ABCD et FGH, qui en d'habitude est un cube de côté A, le point M est le milieu du segment AB. Donc sans traîner je vais écrire que ça en gros c'est A sur 2, que ça c'est A. Montrer que le triangle DHM est rectangle. Ça c'est un raisonnement où en fait c'est un peu évident quand on le voit. On se dit bon ben, DM c'est là, DH c'est là, ça a l'air d'être rectangle. En fait il suffit de dire... Si vous voulez DH en vecteur c'est un vecteur normal pour le plan ABC, c'est-à-dire la phase d'en bas. Bon, pas trop compliqué, il faut juste bien poser son raisonnement, pour le coup c'est assez simple. Petit 2, déterminer la valeur de l'angle DMH en degrés arrondi à 0,01 près. Là en fait je pense que l'erreur principale que pourraient faire des élèves un peu trop préparés, des élèves non préparés seraient peut-être meilleurs à cet exo, ça serait de commencer à faire deux produits ce qui a l'air différent pour... Je sais pas quoi, pour DM... C'est quoi ? Donc c'est le point M, on veut l'angle qui est ici. Laissez-moi le tracer une seconde. On veut l'angle entre HM qui vient vers nous et D là-bas. On veut l'angle qui est ici si vous voulez. Voilà l'angle qu'on cherche. Vous pourriez se dire, c'est parfait, je vais calculer le produit qui a l'air de MH avec MD, et puis me dépatouiller avec ça. C'est faisable, ça va prendre une seconde et ça va marcher très bien. Mais en fait, pas besoin de s'embêter, on a un triangle rectangle. Comme on a un triangle rectangle, qu'est-ce qu'on peut dire ? On peut dire tout bêtement, par exemple, on sait que l'hypoténuse c'est HM. Donc on voit ce qu'on fait. Soit on calcule la longueur HM et on calcule ensuite le cosinus ou le sinus de l'angle. Je pense que le pire ici, HD c'est 1. Facile. Ou c'est A, pardon. DM, ça va se calculer. Mais bon, c'est déjà un petit calcul pour trouver ce que c'est. HM, c'est super galère. C'est un truc, bon, c'est pas grave, mais il faut se débrouiller en gros. Il faut déjà avoir trouvé DM, il faut faire un double Pythagore. C'est un peu la galère. Donc si je peux m'embêter juste à calculer DM, ensuite j'utilise juste la formule de la tangente et je crée OK. Donc je vais faire ça. Ça optimise un petit peu les calculs, plutôt que de faire un cosinus ou un sinus. Je vais écrire tangente de l'angle recherché. Voilà, DMH. C'est vraiment de la géométrie assez basique. Tangente de DMH c'est quoi ? Tangente c'est le sinus ou le cosinus. Donc pour cet angle là, ça va être DH sur DM. Et on voit qu'en fait ça, tout cet exercice, quelle que soit la mesure du côté du cube, que ce soit A, que ce soit 1, 2, 5, 8, l'angle qu'on trace entre le point H, le point M et le point D sera toujours le même. Et c'est pour ça que quand je prends la tangente, A sur DM, les A disparaissent. C'est-à-dire que la longueur du côté n'intervient pas dans l'expression de l'angle. Ce qui est parfaitement normal, encore une fois, parce que quel que soit le cube, si je peux le zoomer ou le dézoomer, les cubes semblables, tout cube est semblable à n'importe quel autre cube, l'angle restera le même. Et donc on trouve tangente égale ça. Calculez, arc tangente ou tangente moins 1, vous trouvez l'angle.

Méthode classique de géométrie dans l'espace

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