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Révisions Maths lycée

Géométrie Terminale

Représ param et cart

Le cours explique comment trouver l'équation cartésienne d'un plan passant par un point donné avec un vecteur normal donné. Il présente deux méthodes pour cela. La première méthode consiste à utiliser l'équation générale du plan, qui est de la forme ax + by + cz + d = 0, en utilisant les coordonnées du vecteur normal (abc). Cette méthode est utilisée de manière pratique sans démonstration. La deuxième méthode est préférée par l'auteur car elle repose sur une démonstration plus complète. Elle utilise le concept de vecteur normal orthogonal au plan. Un point M appartiendra au plan si et seulement si le vecteur GM est orthogonal au vecteur normal. En utilisant cette propriété, on peut écrire l'équation du plan en utilisant le produit scalaire entre le vecteur GM et le vecteur normal. Cette équation donne les mêmes résultats que la première méthode. L'auteur souligne l'importance de comprendre la définition profonde d'un vecteur normal, qui est d'être orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Pour commencer, une première méthode vraiment à savoir faire mais par cœur, sans problème et une rédaction à connaître et à maîtriser, trouver une équation cartésienne d'un plan passant par un certain point avec un certain rétorn normal. Il y a deux méthodes pour faire ça, une est de dire une fois qu'on a un rétorn normal, qu'on appelle dans le cours théoriquement abc en général, on appelle ces coordonnées x, y, z abc, on sait que le plan sera du type, si c'est un truc comme ça, ça sera un plan du type ax plus by plus cz plus d égal 0. Ça c'est la méthode 1 qui est un peu une espèce de, on utilise le fait qu'on sait que c'est ce type là d'équation quand c'est ce type de rétorn normal, c'est un peu utilisé quand même, c'est pas vraiment une démonstration, c'est utilisé un résultat de manière complètement par cœur. La vraie démonstration qui est sous jacente à ça, c'est celle que je préfère moi. Pourquoi ça ? Quand vous avez un plan, imaginez un plan comme ça, on vous dit qu'il y a un petit vecteur normal, un vecteur orthogonal au plan qui en sort comme ça, le petit vecteur n, on vous dit il y a un point, ici le point g111, donc n'importe quel point du plan, un point m quelconque dans l'espace va appartenir au plan uniquement quand le vecteur gm est orthogonal au vecteur n. Le vecteur n est orthogonal à tous les plans, à tous les vecteurs du plan par définition, c'est un vecteur normal, c'est à dire qu'un point m qui est ici par exemple, on aura un vecteur gm si le vecteur est en dessous du plan, qui ne sera pas du tout orthogonal à n. Et tous les vecteurs, tous les points m pour lesquels les vecteurs gm sont orthogonaux sont en fait des points du plan. Donc c'est pour ça qu'on dit ça, on peut écrire si et seulement si, si m a pour coordonnées x, y, z, dans ce cas gm a pour coordonnées, deux vecteurs sont orthogonaux car leur produit scalaire est nul. Donc on fait ça, ça nous donne tout de suite, je fais le calcul, x-1 x 0, 0, plus y-1 x-3, y-3, 3, plus z-1 x 5, donc c'est la bonne donnée. On peut balancer la réponse directe mais j'aime bien me rappeler que c'est parce que c'est ça la définition profonde d'un vecteur normal, c'est vraiment un vecteur qui va être orthogonal à n'importe quel vecteur du plan.

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