Home

MPSI/PCSI

Révisions Maths lycée

Probas Terminale

Défs Dénombrement et liste

Dans ce cours sur le dénombrement, on va traiter des ensembles et des listes. Un ensemble est comme un sac qui contient des objets, sans ordre spécifique. Une liste, en revanche, est une séquence d'objets avec un ordre précis. Les ensembles peuvent contenir d'autres ensembles, tandis que les listes représentent des coordonnées (ex: 1-2 n'est pas la même chose que 2-1). Lorsqu'on aborde des problèmes où l'ordre compte, on travaille avec des listes, sinon on utilise des ensembles et les combinatoires.

Dans l'exemple donné, on a deux ensembles E et F, avec des éléments en commun. L'union des deux ensembles (E U F) comprend tous les éléments de E et/ou F. L'intersection (E I F) regroupe les éléments communs à E et F. Le produit cartésien (E croix F) est une liste de couples formés d'un élément de E et d'un élément de F. Une paire est un ensemble de deux éléments.

La distinction entre ensembles et listes est essentielle pour comprendre les différentes méthodes de dénombrement. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser.

Première méthode sur le dénombrement. Alors, première chose qu'il faut savoir dans ce type de chapitre, c'est qu'on va beaucoup traiter des ensembles et des listes. Déjà, il faut bien savoir faire la différence. C'est quoi un ensemble ? C'est quoi une liste ? Moi, j'aime bien cette image. Un ensemble, c'est un sac. Un sac qui contient des choses, des objets. Des objets, ça peut être n'importe quoi. Très souvent, pour vous, ça peut être des réels. Ça peut être aussi des boules, des cartes. Ça peut être plein de choses. Ça peut être n'importe quoi. Un ensemble peut lui-même contenir des ensembles. On peut faire des choses compliquées. Mais juste, un ensemble, c'est un sac qui contient différentes choses. Dans un sac, il n'y a pas d'ordre. Il n'y a pas d'objet numéro 1, d'objet numéro 2. Tout est en vrac, on va dire. Quand on a le sac qui contient AB, c'est pareil que le sac qui contient BA. Parce qu'il n'y a pas d'ordre. C'est extrêmement important pour la suite. Une liste, c'est la même chose. Sauf que, comme son nom l'indique, c'est une liste. Donc, l'ordre compte. Si vous voyez au niveau de la notation, on ne peut pas se tromper. Il y a une incollade sur les ensembles. Alors que les listes, ce sont des parenthèses. Les listes que vous avez l'habitude de traiter depuis très longtemps, ce sont les coordonnées. Les coordonnées 1-2, ce n'est pas les coordonnées 2-1. C'est une liste, les coordonnées. A chaque fois qu'on fera des exercices, on va toujours se demander est-ce que je suis dans un cas où l'ordre compte, dans ce cas-là, je vais traiter des listes, ou est-ce que l'ordre ne compte pas et je vais plutôt traiter des ensembles. On va voir que dans les ensembles, quand l'ordre ne compte pas, on va faire ce qu'on appelle des combinatoires. On verra ça dans les prochaines méthodes. Ici, on a deux ensembles, E et F. On remarque que E contient trois objets, trois éléments, ce qu'on appelle des éléments, H, E et I. Et F contient D, I, E, R. Donc l'élément E est à la fois dans E et F. On va chercher les ensembles E U F et E I F. Pareil, en dénombrement, en probat, partout, en maths, le U, ça veut dire union, c'est ou. Quand on appartient à E U F, un élément appartient à E U F, c'est-à-dire qu'il appartient soit à E, soit à F, soit les deux, s'ils ont des éléments communs. Là, je prends tous les éléments de H et E, pas besoin de lister deux fois E, donc il y a H, E, I, D, I, R. C'est la réunion de ces deux ensembles. Ensuite, les éléments de E U F, donc le symbole inter, ça veut dire et, en fait. Un élément qui appartient à E U F appartient à la fois à E et à F. Je cherche les éléments communs des deux. Là, il se trouve qu'il n'y en a qu'un, c'est petit e. Donc E U F, ça fait petit e. Ensuite, on parle de E U F, E U F, c'est ce qu'on appelle le produit cartésien. Vous avez l'habitude de gérer ça depuis assez longtemps. Typiquement, quand on écrit la phrase pour toute x, y appartenant à R2, R croix R. Parce que là, x, y, c'est un couple. Donc, E croix F, c'est l'ensemble des couples, donc une liste, constituée des éléments de E pour le premier terme et des éléments de F pour le deuxième terme du couple. Là, l'ordre est important, ce sont bien des listes. Donc, les éléments E croix F, c'est un ensemble dont les éléments sont des listes. Quand je vous disais que les éléments peuvent être n'importe quoi, entre autres, ça peut être des listes. Donc là, on a une liste. On a H D, H I, H E, H R, etc. Là, j'ai listé tous les éléments qui appartiennent à l'un ou à l'autre. Et donc, voilà, c'est un peu longuet, mais ils y sont tous. Ensuite, qu'est-ce qu'est une paire ? Une paire, c'est un ensemble de deux éléments. Donc, selon des ensembles, l'ordre ne compte pas, où il y a deux éléments. Donc, je fais toutes les paires de deux éléments que je peux trouver, c'est-à-dire H E, H I, H I et E I. Rien d'écrire E H, parce que c'est le même ensemble. On n'a que trois paires à partir d'un ensemble qui en contient trois à total. Pour cette petite introduction sur les méthodes sur le dénombrement, je rappelle à bien faire la différence entre un ensemble et une liste, parce que pour compter le nombre de possibilités, ça va être très différent. Voilà, pour cette méthode, n'hésitez pas si vous avez des questions à aller poser des questions.

Déterminer des ensembles

RELATED

Recommended videos

Principe multiplicatif

Cours par cas pratiques !

Nos années

Nos principales matières