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Défs Dénombrement et liste

Dans cet exercice sur les échanges de poignées de mains entre deux équipes de 15 personnes, on cherche à déterminer le nombre de poignées de mains échangées. Pour résoudre ce problème, il faut analyser la notion de poignée de main en tant que lien entre deux personnes appartenant à des équipes différentes. On peut donc former une paire en choisissant une personne de l'équipe 1 et une personne de l'équipe 2. Il y a 15 possibilités dans l'équipe 1 et 12 possibilités dans l'équipe 2, ce qui donne un total de 180 poignées de mains possibles. Il est important de noter que chaque poignée de main est comptée une seule fois, car on a établi une liste où le premier élément vient de l'équipe 1 et le second élément vient de l'équipe 2. Ainsi, on évite de compter deux fois la même paire en inversant les rôles des équipes. En comprenant qu'il s'agit de compter des paires, le problème devient plus simple à résoudre.

Alors on va regarder maintenant un autre problème très classique qui est celui des échanges de poignées de mains. Donc on a deux équipes, une équipe de 15 personnes et une autre équipe de 15 personnes et on se dit qu'ils se serrent tous la main parce qu'ils sont très gentils à la fin, très fair play et on veut savoir combien il y a de poignées de mains qui se sont échangées. Donc là, dans cet exercice de délongement, c'est un très bon exemple parce que la réponse n'est pas facile à trouver, il faut analyser un peu le problème, il faut se dire pourquoi ça correspond à une poignée de main. Une poignée de main c'est un lien entre deux personnes, ça correspond à une paire de personnes. Une poignée de main c'est une paire de personnes, avec chacune d'une équipe différente, ça c'est important. Il faut se dire qu'à partir du moment où j'ai compris ça, c'est à dire que je prends une personne de l'équipe 1, je prends une personne de l'équipe 2 et je fais une paire, combien de paires possibles ? En fait j'ai 15 possibilités pour l'équipe 1, c'est les 15 personnes, j'ai 12 possibilités pour l'équipe 2, c'est mes 12 personnes de l'équipe 2, et donc ça me fait 12 x 15 poignées de mains, 180. Petite remarque pour la fin, parfois on compte trop, on se dit j'ai compté deux fois la même poignée de main, là je n'ai pas compté deux fois la même poignée de main, je suis sûr, pourquoi ? Parce qu'en fait finalement qu'est-ce que j'ai fait ? J'ai dénombré des listes, j'ai dit le premier élément c'est quelqu'un de l'équipe 1, le deuxième élément c'est quelqu'un de l'équipe 2, j'ai dit ça fait 15 possibilités, fois 12. Mais dans cette liste on voit bien que je ne peux pas avoir compté un couple dans le mauvais sens, que j'ai imposé que le premier membre était de l'équipe 1 et le deuxième était de l'équipe 2. Donc typiquement si je fais un petit code où je dis que A c'est l'équipe A et B c'est l'équipe B, si je considère l'ensemble A11, B9, c'est-à-dire que c'est la onzième personne de l'équipe A qui serre la main à la neuvième personne de l'équipe B, s'ils sont tous numérotés, ça me fait bien une paire. Je ne peux pas avoir la paire B9 A11 qui serait donc la même, dans mon dénombrement je ne peux pas retrouver celle-là puisque je commencerai alors par une personne de l'équipe B et ensuite une personne de l'équipe A. Donc là en fait je suis sûr que je n'ai pas compté deux fois les mêmes personnes, les mêmes poignées. Donc là c'est vraiment un très bon exemple, il faut d'abord que j'analyse ce que je suis vraiment en train de compter. En fait ce que je suis en train de compter c'est des paires. À partir du moment où j'ai compris ça, le nombre de paires, c'est beaucoup plus simple.

Principe multiplicatif

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