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Combinaison et intersection
Maintenant, nous allons voir comment les combinaisons fonctionnent avec les intersections. Le problème est similaire à une méthode que nous avons déjà utilisée avec les diagrammes et les intersections. Imaginons que nous prenions au hasard 20 élèves dans une classe, parmi lesquels 14 aiment les mathématiques, 7 aiment la physique et 4 aiment les deux matières.
Commençons par représenter cela avec un petit diagramme. Sur les 20 élèves, 10 aiment les mathématiques, 4 aiment à la fois les mathématiques et la physique, et 3 n'aiment que la physique. En déduisant cela grâce aux 4 élèves qui se situent au milieu, nous avons 3 élèves qui n'aiment ni les mathématiques ni la physique.
Maintenant, nous allons prendre au hasard des sous-groupes d'élèves parmi ces différentes catégories et nous devons déterminer combien de groupes comportent exactement 4 élèves qui aiment les mathématiques. Il s'agit d'un problème de combinaison, car l'ordre n'a pas d'importance et il n'y a pas de répétition. Donc, pour former des sous-groupes de 4 élèves, nous devons en choisir 4 parmi les 14 qui aiment les mathématiques.
Combien de sous-ensembles peut-on construire parmi ces 14 élèves ? Cela équivaut à "14 parmi 4", ce que l'on peut noter mathématiquement par "14! divisé par 4! fois 10!". Si nous avons une calculatrice, cela se résout facilement. Cependant, si nous devons effectuer le calcul sans calculatrice, il est important de simplifier autant que possible. Les deux facteurs de 4! vont se simplifier et disparaître, ce qui laisse seulement "14 x 13 x 12 x 11". Les autres chiffres se simplifient également en "4 x 3 x 2". Ainsi, le résultat est de 1001.
Passons maintenant à la deuxième question. Combien y a-t-il de sous-groupes de 4 élèves comportant 2 élèves qui n'aiment que les mathématiques et 2 élèves qui n'aiment que la physique ? À l'intérieur de ce sous-groupe de 4 élèves, nous avons deux sous-groupes de 2 élèves. Le premier sous-groupe comprend uniquement des élèves qui aiment la physique, tandis que le deuxième sous-groupe comprend uniquement des élèves qui aiment les mathématiques.
Il y a donc 10 élèves qui aiment seulement les mathématiques et 3 élèves qui aiment seulement la physique. Nous devons en choisir 2 parmi les 10 élèves qui aiment les mathématiques et 2 parmi les 3 élèves qui aiment seulement la physique. Cela revient à "2 parmi 10" multiplié par "2 parmi 3". Le calcul peut être simplifié, par exemple, "2 parmi 10" peut être résolu par "10 x 9 divisé par 2", ce qui donne 45. "2 parmi 3" est simplement 3. Donc, au total, cela nous donne 135 possibilités.
Voilà comment nous pouvons utiliser les combinaisons et les intersections ensemble.
