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Probas Terminale

Concentration LGN

Dans ce cours, nous étudions les inégalités et les concentrations relatives à la variable aléatoire d, qui représente le débit de la Loire en mètres cubes par seconde. L'énoncé nous informe que l'espérance (valeur moyenne) de d est de 350 et que la variance (mesure de dispersion) est de 28000.

Dans la première partie de l'exercice, nous devons donner une estimation maximale de la probabilité suivante et l'interpréter. Cette probabilité correspond à la différence entre le débit de la Loire et sa valeur moyenne étant supérieure ou égale à 200. En utilisant l'inégalité de Bien-Aimé Tchibitchev, nous pouvons majorer cette probabilité par la variance de d divisée par 200 au carré, soit 28000/40000, ce qui donne 0,7. Ainsi, la probabilité que le débit de la Loire s'écarte de plus ou moins 200 mètres cubes par seconde de sa valeur moyenne est inférieure ou égale à 0,7.

Dans la deuxième partie de l'exercice, nous cherchons la probabilité que le débit de la Loire soit compris entre 50 et 650 mètres cubes par seconde. Pour cela, nous utilisons à nouveau l'inégalité de Tchibitchev. En calculant la différence entre le débit et sa valeur moyenne, nous obtenons la probabilité que cette différence soit inférieure ou égale à 300. En utilisant le complément de cette probabilité, nous pouvons la majorer par la probabilité que cette différence soit supérieure ou égale à 300, ce qui correspond à l'inégalité de Bien-Aimé Tchibitchev. En calculant cette probabilité à l'aide de la formule donnée, nous obtenons 0,311. Ainsi, la probabilité que le débit de la Loire soit compris entre 50 et 650 mètres cubes par seconde est supérieure ou égale à 0,311.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour de la première méthode consacrée aux inégalités et concentrations que tu rencontreras en terminale. Commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé. On considère la variable aléatoire d donnant le débit de la Loire en mètre cube par seconde à tour à un instant t. Et on nous dit qu'une étude statistique permet de considérer que l'espérance de d est égale à 350 et que la variance de d est égale à 28000. Et on nous demande dans un premier temps de donner une majoration de la probabilité suivante et d'interpréter cette majoration dans les termes de l'énoncé. Dans un second temps, on nous demande de donner une minoration de la probabilité que le débit de la Loire à tour à l'instant t soit strictement compris entre 50 et 650 mètre cube par seconde. Moi ce que je vous propose de faire c'est de commencer l'exercice par un rappel sur l'inégalité de Bien-Aimé Tchibitchev. Cette dernière nous dit que pour tout réel strictement positif alpha et pour toute variable aléatoire x d'espérance e de x et de variance sigma carré, on a la probabilité que la valeur absolue de x moins 2x soit supérieure ou égale à alpha et majorée par sigma carré sur alpha carré autrement dit par la variance sur alpha carré. Or d'après le rappel et bien dans un premier temps déjà on remarque que la probabilité que d moins 350 soit supérieure ou égale à 200 c'est exactement égale à la probabilité que d moins son espérance soit supérieure ou égale à 200. D'après le rappel on peut directement appliquer l'inégalité de Bien-Aimé Tchibitchev et majorer cette quantité là par la variance de d divisé par 200 au carré qui est égale en réinjectant par 28000 divisé par 40000 et ça c'est égal à 0,7. Conclusion, la probabilité suivante est majorée par 0,7. Interprétation, la probabilité que le débit de la loi soit écartée de plus ou moins 200 m3 par seconde de son cours moyen est inférieure ou égale à 0,7. Attaquons à présent la deuxième question. On cherche cette fois-ci la probabilité que d soit compris entre 50 et 650 et moi ce que j'ai envie de faire c'est vraiment de me ramener à cette inégalité de Tchibitchev qui m'est vraiment utile dans cet énoncé. Qu'est ce que je fais ? Je fais moins espérance des trois côtés de cette inégalité. En calculant je remarque que c'est égal à ce que d moins son espérance soit compris entre moins 300 et 300 et ça c'est exactement dire que c'est la probabilité que d moins 350 à la valeur absolue soit inférieure ou égale à 300 et là attention mes étourdis c'est pas exactement le cas de figure de l'inégalité de Tchibitchev puisqu'ici on a un inférieur ou égal et que l'inégalité de Tchibitchev c'est un supérieur ou égal. Alors je m'y ramène en posant 1 moins la probabilité que la valeur absolue de d moins 350 soit supérieure ou égale à 300 et là alléluia on remarque que minorer cette quantité revient à majorer la probabilité que d moins 350 à la valeur absolue soit supérieure ou égale à 300 et ça c'est exactement le cas de figure de bien-aimé Tchibitchev qui nous dit que la probabilité que d moins son espérance soit supérieure ou égale à 300 et bien c'est égal à 28000 divisé par 300 au carré et ça avec la calculatrice c'est égal à 0,311. Conclusion, puisqu'on a majoré cette quantité là et qu'ici il y a un moins et bien on a minoré cette quantité là qui est cette quantité là. Conclusion et bien on a bien la probabilité que d soit compris entre 50 et 650 qui est supérieure ou égale à 0,311

Utiliser l'Inégalité de B-T

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