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Divisibilité et Congruences

Dans ce cours, il est expliqué comment résoudre l'équation x² plus x congruent à 3 modulo 5 pour x entier. L'exercice peut sembler difficile et effrayant, mais il faut simplement réfléchir calmement. Le professeur suggère de réécrire x² plus x comme n² plus n pour faciliter la compréhension. Ensuite, il explique que la méthode classique consiste à tester tous les cas possibles en utilisant une table des congruences. Il suggère également de vérifier s'il y a une factorisation évidente, bien que cela ne semble pas être le cas dans cet exercice. Ensuite, il explique comment remplir rapidement la table des congruences, en calculant x² modulo 5 et la somme de 2 modulo 5 pour chaque valeur de x de 0 à 4. En analysant les résultats, il conclut que pour toutes les valeurs de x, x² plus x est congruent à 0, 1 ou 2, et jamais à 3. Par conséquent, l'ensemble des solutions est vide. Malgré l'apparente complexité de l'exercice, le professeur souligne l'importance d'une approche méthodique et réfléchie. Il espère que cette explication aidera les élèves et leur donne rendez-vous pour une prochaine vidéo.

Un exercice que je juge un peu difficile uniquement parce que j'ai trouvé qu'il pouvait faire peur et il y a un effet très fort dans les exercices de maths, surtout pour ceux qui sont faits pour piéger au contrôle, il y a souvent un effet faire peur aux élèves pour rien. C'est-à-dire voir s'ils paniquent quand j'en mets des petits trucs bizarres, voir s'ils paniquent alors qu'en fait derrière, il n'y a rien d'inquiétant, il faut juste se poser et réfléchir. Déterminer les solutions de x² plus x congruent à 3 modulo 5 quand x est un entier. Donc des solutions d'un polynôme du degré 2 avec en plus des congruences, si on met les mots comme ça c'est horrible, tout de suite moi je vais me coucher et j'arrête. Donc, premier truc qu'on pourrait faire que je n'ai pas fait là, c'est en fait réécrire ça déjà, n² plus n, arrêtez de mettre un x qui est entier, c'est trop bizarre, mais c'est vrai que ça marche pour rendre confus les élèves. Et on se dit bon ben, comment on fait ? On résout, est-ce qu'on passe le plus n moins 3, est-ce qu'on le passe de l'autre côté, on factorise, on fait un delta, on ne sait pas. Non, en fait c'est comme d'hab, c'est ce qu'on a vu dans les méthodes classiques, il faut tester tous les différents cas avec une table des congruences. Et là ça va marcher. Mais quand même, vu que j'ai évoqué le x² plus x moins 3 congruent à 0, on ne sait jamais, peut-être avoir en tête une petite alarme qui dit, repérons s'il n'y a pas une factorisation évidente. Si on avait, je ne sais pas, x² plus x, alors c'est quoi par exemple ? Moins 2 par exemple, ça, ça se factorise vite, par cœur, c'est x moins 1, x plus 2. Bon, peut-être qu'on pourrait réfléchir à factoriser, parce qu'on aime bien factoriser dès qu'il y a des entiers. Donc on teste vite fait, il y a une zone de notre cerveau qui regarde vite fait, x² plus x moins 3, ouais, le delta, je ne sais pas combien ça fait, ça n'a pas l'air, ouf, ok, on oublie. On a ça quand même, une demi-seconde, il ne faut pas se l'interdire. Voilà, c'est là-dessus que je veux insister, c'est plus sur la démarche et la méthode, la manière de réfléchir. Ensuite par contre, bon ben, on se lance, on fait une table de congruence. Quand x est congruent à quoi ? 0, 1, 2, 3, 4, je remplis ensuite ce qu'il se passe pour x², puis je vois la somme de 2. Bon ben, x² est congruent à 0, 1, 2² c'est 4, 3² c'est 9, moins 5 ça fait 4, 4² c'est 16, moins 15 ça fait 1, voilà. On le remplit ça en 2 minutes. La somme de 2 ça fait quoi ? Ben là ça fait 0, là ça fait 2, là ça fait, ben celui-là ça fait 2 donc ça fait 0, là ça fait 6, j'enlève un paquet de 5, ça fait 1, là ça fait 7, j'enlève un paquet de 5, ça fait 2, là ça fait 5, ça fait 0. Donc, est-ce que x² plus x, vu que là j'ai couvert l'ensemble des cas possibles, j'ai écrit les x en gros, soit 5k, soit 5k plus 1, ça correspond à cette colonne et à celle-ci, soit 5k plus 2, 5k plus 3, 5k plus 4, est-ce que, j'ai couvert tous les cas possibles au monde, est-ce qu'il y a un moment où il est, cette quantité est congrue à 3 ? Jamais, non, c'est toujours 0, 1 ou 2, donc c'est mort, ensemble vide, voilà. Pas si compliqué mais vu qu'il faisait, il peut faire un peu peur au début, et je voulais insister un peu sur les petits réflexes, je trouvais qu'ils pouvaient être considérés comme pas simples et je voulais en parler. Voilà, j'espère que ça vous aide et je vous dis à la prochaine pour une autre vidéo.

Piège à éviter : degré 2 !

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