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Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice, on utilise les équations diophantiennes pour montrer qu'un point M appartient à la droite AB, en connaissant les coordonnées du point A (7,2) et du point B (-3,-4). Pour montrer que M appartient à la droite AB, on montre que les vecteurs AM et AB sont collinéaires. Les coordonnées de AM sont (x-7, y-2) et les coordonnées de AB sont (-10,-6). Donc, on cherche à résoudre l'équation diophantienne 3x-5y=11. On vérifie que le PGCD des coefficients 3 et 5 divise le terme constant 11, ce qui est le cas, donc l'équation admet des solutions entières. On trouve une solution particulière en prenant (7,2). Donc, l'ensemble des solutions de l'équation est donné par x=5k+7 et y=3k+2, où k est un entier. Ces équations donnent les coordonnées des points entiers qui appartiennent à la droite AB.

Salut ! Dans cet exercice, on va voir comment utiliser les équations diophantiennes pour montrer qu'un point M appartient à la droite à B, sachant que la restriction qu'on donne, c'est que le point est des coordonnées entières. On nous dit que le point A a pour coordonnées 7,2, le point B a pour coordonnées (-3,-4), et le but est de montrer que le point M appartient à la droite à B, si cette égalité est vérifiée. Là, c'est assez simple. On va le faire avec les vecteurs. On va montrer que les vecteurs AM et AB doivent être collinéaires pour que ça marche. AM, les coordonnées de vecteurs, maintenant on sait faire depuis le temps. Les coordonnées de AM, ça fait x-7 et y-2. Les coordonnées de AB, c'est (-3,-7), et (-4,-2), ça fait (-10,-6). Maintenant, ce qu'on sait, c'est que M appartient à la droite à B, si et seulement si AM et AB sont collinéaires, et deux vecteurs sont collinéaires, si quand on fait le produit en croix comme ça, on a une égalité. Ça veut dire que ça x ça est égal à ça x ça. Donc, (-10,y-2). Ils sont collinéaires. On a (-6,x-7), qui est égal à (-10,y-2). Là, on divise par (-2), de chaque côté, ce qui nous fait 3,x-7, qui est égal à 5,y-2. Ce qui est exactement l'égalité qu'on nous demandait de retrouver. Donc, c'est ça qu'on a. M appartient à B, si et seulement si on a cette égalité-là. Et donc, en déduire l'ensemble des points en coordonnées entières appartenant à la droite à B. Donc là, on a une égalité avec du x, du y, qu'on veut qui soit entier. C'est une équation diophantienne. Donc là, on cherche x,y dans z², tel que cette égalité soit vérifiée. Donc, on va essayer de lui donner une forme d'équation diophantienne. Ça veut dire qu'on va mettre toutes les inconnues d'un côté et les constantes de l'autre côté. Ce qui nous fait, après simplification, 3x-5y est égal à 11. Donc, voilà notre équation. Maintenant, ce qu'on sait, c'est que cette équation, enfin, une équation diophantienne, admet des solutions si on a le PGCD des deux coefficients qui divise le terme constant à droite. Bon, ben là, PGCD de 3 et 5, c'est 1. Ça divise 11, il n'y a pas de souci. Donc, eux, admettent des solutions entières. Ensuite, on trouve une solution particulière. Donc là, pour les solutions particulières, soit il y en a une qui saute aux yeux, ici, ce sera le cas, soit on fait l'algorithme d'Euclide pour retomber sur le PGCD. Ensuite, on remonte et on multiplie pour tomber là-dessus, et ça nous fait notre solution particulière. Donc là, une solution particulière, ici, qu'on peut trouver, c'est 7, 2, d'accord ? Il y en avait une autre assez simple. On peut prendre aussi 2 et moins 1, ça marchait. Ça faisait 11 aussi. J'ai voulu prendre cette 2, histoire d'avoir que des noms positifs. Moi, je préfère, personnellement, mais la solution particulière, on peut prendre celle qu'on veut. Donc voilà. Et donc, finalement, l'ensemble des solutions, c'est x moins 7 est égal à 5k, parce qu'on prend le coefficient devant y en négatif, donc ça fait moins moins 5k, et y moins 2, donc la solution particulière, est égale à 3k, donc le coefficient devant x, tel qu'il est. Et donc, en passant de l'autre côté les solutions particulières qu'on a notées, ça fait x est égal à 5k plus 7, et y est égal à 3k plus 2. Donc voilà l'ensemble des points, enfin des coordonnées, des points coordonnées entières qui sont sur la droite AB. Et donc voilà pour cet exercice.

Coordonnées entières

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