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Racine rationnelle de polynôme
Dans cet exercice, on cherche à montrer qu'un polynôme donné admet une racine rationnelle. On nous demande de montrer que si P/Q est une racine de F, alors P divise 3 et Q divise 2.
On commence par écrire le polynôme F(P/Q) de manière simplifiée, en évitant les fractions. On obtient 2P^3 + 5P^2Q + 5PQ^2 + 3Q^3 = 0.
Ensuite, pour montrer que P divise 3 et Q divise 2, on factorise l'équation précédente par P et Q, respectivement.
En factorisant par P, on obtient P(2P^2 + 5PQ + 5Q^2) = -3Q^3. Comme le PGCD de P et Q vaut 1, on conclut que P divise 3.
En factorisant par Q, on obtient 2P^3 = Q(5P^2 + 5PQ + 3Q^2). Encore une fois, étant donné que le PGCD de P et Q vaut 1, on en déduit que Q divise 2.
On a donc montré que si P/Q est une racine de F, alors P divise 3 et Q divise 2.
En utilisant les conditions énoncées dans la question 2, on sait que le numérateur doit diviser 3 et le dénominateur doit diviser 2. En considérant les diviseurs positifs possibles pour le dénominateur (1 et 2), on teste toutes les combinaisons possibles avec les diviseurs de 3 (−3, −1, 1, 3).
Après avoir effectué les calculs, on constate que la seule racine rationnelle de F est -3/2.
Ainsi, on a réussi à montrer que le polynôme donné admet une racine rationnelle.
