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Encadrer (-1)^n
Dans ce cours, nous examinons une autre forme de suite qui nécessite une limite. Plus particulièrement, nous traitons les suites de la forme "-1 puissance n sur n". Grâce à une analyse asymptotique, nous constatons que lorsque n tend vers l'infini, cette expression tend vers 0 en raison de la division par n.
Cela signifie que la suite UN, qui est définie comme étant égale à 3 plus "-1 puissance n sur n", converge vers 3. Pour prouver cela, nous utilisons la méthode de l'encadrement. Nous commençons par encadrer "-1 puissance n" et multiplions ensuite par "1 sur n", qui est positif. En ajoutant 3, nous obtenons une inégalité de la forme 3 moins 1 sur n est inférieur à UN qui est inférieur à 3 plus 1 sur n.
En conséquence, le terme de gauche tend vers 3, tout comme le terme de droite. Par le théorème de l'encadrement, nous concluons donc que la suite UN converge vers 3. Il est également important de noter que le théorème de l'encadrement nous permet à la fois de prouver la convergence et de trouver la limite, ce qui en fait un théorème puissant.
Ainsi, grâce à l'encadrement, nous avons démontré que la suite UN tend vers 3.
