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Exo TRÈS classique
Dans cette méthode, nous étudions une suite sous forme d'une fonction rationnelle de n, où le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur. La limite de cette suite est le quotient des coefficients dominants de chacun des polynômes constituant le numérateur et le dénominateur. Cependant, au lieu de nous concentrer sur la limite elle-même, nous nous intéressons aux résultats préliminaires tels que la majoration, la croissance et la convergence, que nous déduisons à partir des théorèmes de convergence.
Dans le premier exercice, nous étudions la suite Un = (n-1)/(n+4) pour montrer qu'elle est majorée par 1. Pour cela, nous observons que le numérateur est inférieur au dénominateur s'il est inférieur à 1. Nous remarquons que -1 est inférieur à 4, puis nous ajoutons n et prenons le quotient. Comme le résultat est positif, le signe ne change pas et nous en concluons que Un est strictement inférieur à 1. Pour étudier la monotonie de la suite, nous utilisons généralement la différence Un+1 - Un. Dans certains cas, nous pouvons étudier le quotient Un+1/Un pour voir s'il est inférieur ou supérieur à 1. Cependant, il faut d'abord vérifier que Un ne s'annule jamais et ne change pas de signe. Si c'est le cas, nous pouvons étudier le quotient avec succès. Dans cet exemple, la suite est constituée de produits de quotients, ce qui permet d'utiliser cette méthode. Nous constatons que la suite ne change pas de signe, sauf en 0 où elle est négative. Cependant, cela n'a pas d'importance car nous nous intéressons à ce qui se passe à l'infini. Nous utilisons donc la méthode du quotient Un+1/Un. Nous regroupons les termes et développons l'expression pour trouver que tout est positif. Nous en déduisons que Un est strictement croissante et strictement positive, ce qui implique qu'elle converge. Cependant, la méthode ne nous permet pas de connaître la limite. Pour cela, nous appliquons la méthode du degré des polynômes en prenant les coefficients dominants, qui, dans ce cas, nous donnent une limite de 1. Il est important de noter que la limite n'est pas forcément le majorant que nous avons trouvé. Dans un autre exemple, nous avons la suite Um = (2n-2)/(n+4). En utilisant la méthode du degré des polynômes, nous concluons que la limite est de 2. Cependant, l'objectif de l'exercice est de montrer que la suite est majorée par 2, d'étudier les variations de Un et d'en déduire la convergence. Pour cela, nous utilisons une majoration successive. Nous montrons que pour tout n appartenant à N, Un est inférieur à 2. En ce qui concerne les variations de Un, nous différencions Un+1 - Un et développons l'expression. Nous observons que tout se simplifie et qu'il ne reste que 10, qui est strictement positif. Nous en concluons que Un est strictement croissante, mais nous ne savons pas vers quelle limite elle converge. Il est important de comprendre que la convergence d'une suite croissante et majorée ne signifie pas nécessairement qu'elle converge vers son majorant. En somme, il est essentiel de faire attention aux détails et de comprendre les différentes méthodes utilisées pour étudier les suites.
