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Analyse Terminale

Théorèmes de Convergence

Ce cours porte sur les limites de somme et de produit. Les règles sont simples : lorsque deux fonctions f et g tendent vers des limites L et L' respectivement, la limite de leur somme est L + L' et la limite de leur produit est L × L'. Ensuite, si L est fini et tend vers l'infini, l'infini l'emporte toujours. Pour le produit, cela dépend du signe de L : si L est positif, la limite est l'infini inversement proportionnelle, et si L est négatif, la limite est négative inversement proportionnelle. Il est important de retenir que ces exemples ont du sens : plus l'infini plus l'infini est toujours l'infini et plus l'infini moins l'infini est moins l'infini. Cependant, il y a deux cas indéterminés, à savoir la multiplication de zéro par l'infini et l'addition de plus l'infini et moins l'infini. Une forme indéterminée signifie que les règles habituelles ne s'appliquent pas toujours et que tout peut arriver. Pour le quotient, si les fonctions f et g tendent respectivement vers les limites l et l', alors le quotient f/g tend vers l/l'. Les règles sont les suivantes : l/infini tend vers zéro, l/0 tend vers plus ou moins l'infini (selon le signe de l), et enfin, les formes indéterminées sont 0/0 et l'infini/l'infini. Il est possible d'avoir différents résultats selon les exemples donnés pour ces formes indéterminées. En conclusion, il est important de s'entraîner à utiliser des exemples simples afin de mieux comprendre ces concepts et de retenir les formes indéterminées.

Prochaine étape, voir les tableaux de limite. Limite d'une somme et d'un produit. Bon, plein de cas très simples, en gros là j'ai pas trop envie de passer des heures non plus. Quand vous avez f et g qui tendent chacun vers une limite L et L', c'est très simple, ça fait L plus L', L fois L'. Ensuite quand vous avez L d'un côté, une limite finie avec plus ou moins l'infini, c'est toujours l'infini qui va l'emporter. Et ensuite pour le produit, ça va être l'infini selon ensuite le signe de L. Si L est positive, ça va s'inverser, si L est négative, ça va inverser. Là il faut être un peu logique, quand vous avez plus et plus, ça fait plus, plus et moins, ça fait moins, moins et moins, ça fait plus. Ce qui est vachement important de retenir, c'est que vous avez tous ces exemples qui font du sens, donc plus l'infini, plus l'infini, ça fait plus l'infini, plus l'infini, moins l'infini, ça fait moins l'infini, il y a des règles de signes qui s'expriment, mais il y a deux cas, où il y a écrit fi ici et fi ici, ce sont les deux cas fort mal déterminés, c'est les cas où on peut pas vraiment savoir ce qui se passe, c'est le cas de la multiplication 0 fois l'infini, et le cas pour l'addition de plus l'infini plus moins l'infini. Qu'est-ce que ça veut dire forme indéterminée ? On l'a déjà vu dans les suites, je vais vous le remontrer un peu. Forme indéterminée, ça veut dire qu'il n'y a pas de règle qui s'applique tout le temps, il peut y avoir un peu plein de choses. Prenons le cas plus l'infini auquel on additionne moins l'infini, je peux vous faire trois cas, où je prends une fonction qui tend vers plus l'infini, x, x2, x ici, puis une fonction qui tend vers moins l'infini, 1 moins x, moins x, moins x puissance 5, selon les trois cas, on va avoir trois trucs différents, trois résultats qui n'ont rien à voir entre eux. C'est ça une forme indéterminée, c'est-à-dire que ce n'est pas déterminé par défaut, tout peut arriver. Donc x plus 1 moins x, ça fait 1, c'est évident. Petit exemple bébête, je ne me suis pas pris la tête pour faire des exemples compliqués, il vaut faire toujours très simple quand vous voulez chercher un exemple pour illustrer. D'ailleurs entraînez-vous, c'est le meilleur conseil que je puisse vous donner ça, entraînez-vous à créer des petits exemples simples, tout le temps. Vous avez un contrôle, vous faites un ds, vous voyez qu'il y a un truc un peu pas clair, c'est pas facile, il y a une propriété de n ou je ne sais pas quoi, écrivez pour n égale 2, écrivez pour n égale 3, rendez-vous la tâche facile, en écrivant de manière simple avec les choses les plus claires possible. Rendez-vous le truc, vous savez, facile à digérer quoi. Donc c'est un petit réflexe à avoir, voilà x2 moins x, en gros le x2 va dominer, on va montrer comment ça marche, mais on sait que c'est un terme plus gros donc c'est lui qui va l'emporter, pareil pour x, x moins x5. Ensuite pour l'autre forme indéterminée dont on a parlé, c'est 0 fois l'infini. Voilà pareil, je prends des exemples très très bêtes, mais si je prends 1 sur x fois 2x, j'ai bien un truc qui tend vers 0 en plus l'infini et un truc qui tend vers plus l'infini en plus l'infini. Là j'ai pris à chaque fois plus l'infini, plus l'infini, plus l'infini, ça peut marcher pour n'importe quelle limite. Ça aurait pu être, je vais reprendre des exemples, il aurait fallu que je prenne d'autres exemples, où x tendait vers 3 par exemple. J'ai pris plus l'infini parce que c'est plus simple. Mais voilà, le tableau d'avant, si vous voulez, le tableau d'avant fonctionne pour des limites en n'importe quel point. On a mis alpha, alpha ici peut être réel ou égal à l'infini. Si je continue ici, j'ai pris des exemples très simples, 2x sur x, ça fait 2, ça tend vers 2. 2x, si je mets du x2 en dessous, je vais avoir un truc qui tend vers 0 parce que c'est plus gros en dessous. Et si je mets un truc plus grand au dessus, ça va tendre vers plus l'infini. C'est ça la forme indéterminée, c'est que si je peux trouver des exemples qui tendent vers tout et n'importe quoi, ça veut dire qu'il n'y a pas de règle. Dernier petit point rapide, le quotient. Ça je ne l'avais pas encore fait, donc le quotient pour des fonctions, on prend un rapport, donc f sur g. f sur g tend vers l sur l', si les deux tendent vers l et l'. On a ensuite des règles assez évidentes, l sur l'infini, ça fait un truc très gros, donc quand on divise par un truc très gros, ça fait 0. L sur 0, on divise par un truc très petit, ça fait plus ou moins l'infini, on l'a déjà vu avec 1 sur x. La dernière, ça va dépendre des signes, il y a deux formes indéterminées, c'est ça qui compte encore une fois le plus à retenir pour vous. C'est la forme indéterminée 0 sur 0, on a vu signes x sur x qui tendaient vers 1 par exemple dans une vidéo précédente, et la forme indéterminée plus l'infini sur plus l'infini. Donc là, sur mon garde, j'ai mis quelques exemples plus ou moins astucieux. 0 sur 0, ça va être par exemple x-3 sur x-3 quand x tend vers 3. Remarquez ici, c'est plus x qui tend vers plus l'infini, j'ai mis x qui tend vers 3, pour vous montrer qu'il n'y a pas de raison, alpha peut être autant réel qu'infini. x-3 sur x-3, ça fait 1, ça tend vers 1. Racine de x-3 sur x-3, ça se divise en racine, ça tend vers 0 quand x tend vers 3, donc ça fait plus l'infini. La même chose dans l'autre sens, là ça tend vers 0, donc ça fait 0. Donc 3 cas différents, 1, plus l'infini, 0, tout est possible. Si je continue avec la dernière forme indéterminée, puis on finira là-dessus, ça fait plus l'infini sur l'infini. J'en ai mis plusieurs, j'ai voulu mettre en 6 pour être un peu original, donc j'ai 1 sur x-6 divisé par 1 sur x-6, chacune tend vers plus l'infini. 1 sur x-6 quand x tend vers 6, ça tend vers 0, donc 1 sur x-6 tend vers plus l'infini. Donc ça fait bien plus l'infini sur plus l'infini qui tend vers 1. La même chose en jouant avec différents 1 sur x-6, je trouve une réponse ici qui tend vers plus l'infini, et une réponse ici qui tend vers 0. C'est donc une forme indéterminée encore une fois, parce que tout est possible, donc il n'y a pas de règle absolue. Voilà, c'était une longue vidéo cette fois-ci. J'ai parcouru tout ce qu'il fallait savoir, c'est plus pour vous illustrer et tout, et après vous, vous avez pu apprendre vos tables. Ce que je voulais apporter c'était vous rendre facile la compréhension des... la compréhension des différentes choses à fond par cœur en ayant le graphe en tête. Vraiment ce qu'il faut, ce sur quoi j'ai le plus insisté au final, c'est les formes indéterminées, c'est là-dessus qu'il faut bosser. Il faut bien retenir lesquelles c'est. Bon au final il y en a 4, c'est pas très compliqué, mais retenez bien, donc pour l'addition c'est plus l'infini et moins l'infini, pour la multiplication c'est 0 et l'infini, et pour les quotients, malheureusement il y en a 2, c'est 0 sur 0 et plus l'infini sur plus l'infini. Si vous avez des questions ou des commentaires, c'est la FAQ comme d'hab, je vous dis à la prochaine, et... Bon courage !

Tableaux : combiner des limites

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