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Analyse Terminale

Fonctions Cos et Sin

Les fonctions trigonométriques ont quelques bons réflexes à avoir lors de leur étude. Il est important de vérifier la parité, c'est-à-dire la symétrie par rapport à l'axe OY. Si la fonction est paire, on peut se restreindre au domaine positif. De plus, pour les fonctions trigonométriques, il faut également prendre en compte la périodicité, qui permet de réduire l'étude à un motif répété. Il est essentiel de garder en tête cette structure lors de l'étude des fonctions trigonométriques afin de comprendre pourquoi certaines étapes sont demandées et de se sentir plus en confiance lors de la résolution des exercices.

Un truc important sur les fonctions trigonométriques, c'est que quand on les étudie, il y aura quelques bons réflexes à avoir. On verra dans les vidéos de méthode comment le faire en détail, mais j'ai envie de faire un petit point sur ces bons réflexes justement. D'habitude, pour une étude de fonction visuelle, vous avez des étapes très classiques qui sont 1. Le domaine de définition. 2. Vérifier la parité. La parité, c'est quand, par exemple, une fonction va être paire. C'est-à-dire qu'elle aura une symétrie par rapport à l'axe OY. Pensez à la parabole X2 par exemple. Ça se vérifie quand, pour toute X, on a f de moins X égale f de X. Si on a ça, c'est super. Pourquoi on la vérifie souvent ? Pourquoi en tout cas il est conseillé de vérifier cette parité ? C'est que si vous trouvez qu'une fonction est paire ou impaire, impaire c'est quand il y a une symétrie par rapport à 0, le point. Pensez à 1 sur X, à l'hyperbole par exemple, qui est d'un côté comme ça, et de l'autre côté, bah la même chose, mais dans l'autre sens. Si vous avez parité ou imparité, vous pouvez vous restreindre, non pas à tout R, mais juste au nombre positif par exemple. C'est-à-dire que vous pouvez trouver tout ce qui se passe du côté des positifs, et vous dire bah ensuite j'ai plus qu'à recopier en faisant une symétrie de l'autre côté. Symétrie soit par rapport à un X, soit par rapport à un point. Donc c'est très bien si on trouve une parité, parce que ça nous évite la moitié du travail. En tout cas ça nous évite de faire un travail, de répéter deux fois un travail qu'on peut ne faire qu'une fois. Encore une fois, c'est pas souvent, mais c'est bien de vérifier. Puis on fait les variations avec la dérivée notamment, tableau de variation etc, puis un dessin. Pour une fonction trigo, c'est un peu le même délire, définition parité puis variation représentation graphique, mais il y a un petit point en plus, un petit nouveau, qui est la périodicité. Alors je vais illustrer ça juste rapide. Rappelez-vous que la fonction sinus et cosinus sont des fonctions périodiques. C'est-à-dire une fonction périodique c'est une fonction pour laquelle il y a un motif très petit, basique, qui peut être source de la construction de toute la fonction. C'est-à-dire qu'il existe un motif qui, si je le répète, donne la fonction. Donc là par exemple le motif ce serait ça, en l'occurrence, si je pars du point 0 jusqu'à 2pi, c'est-à-dire 6,28. Ce petit motif là, donc compris entre les deux zéros aux extrémités de ce que vous voyez derrière moi, si je le répète beaucoup beaucoup de fois, j'obtiens bien cette périodicité, j'obtiens bien cette fonction sinus. Ça être périodique, c'est pouvoir être réduit à un motif qu'on répéterait. Donc si vous avez compris l'intérêt de la parité qui nous permet de réduire l'ensemble d'études pour ensuite faire juste une symétrie, là c'est encore mieux si on arrive à trouver qu'une fonction est périodique, on va pouvoir réduire encore plus l'étude, c'est plus qu'on réduit en deux, c'est que là on réduit une infinité de fois en fait. Au lieu d'avoir une infinité de motifs, on n'en étudie qu'un et on dit qu'on le répète. Alors c'est en fait pratique, mais c'est aussi une charge mentale en plus pour vous, c'est-à-dire qu'il faut penser à la périodicité, il faut la chercher, c'est aussi une galère. C'est qu'il faut le faire. Une étape en plus que les profs, que votre correcteur va s'attendre à ce que vous fassiez. Donc je mets un petit exemple, mais je ne vais pas le parcourir, c'est juste pour vous donner une idée. On vous donne une fonction f égale cos x plus cos 2x par exemple, on a bien l'ensemble de définition qui est égal à R. On remarque tout d'abord que f de moins x égale cos de moins x plus cos de moins 2x. Or, ça il faut le savoir, on l'a vu dans les propriétés dans une vidéo précédente, cos de moins x égale cos x. Donc on voit que cette fonction est en fait égale, f de moins x est égale à f de x, c'est donc une fonction paire. Elle admet l'axe au y comme axe de symétrie. On peut donc réduire notre domaine d'étude en nombre positif. Donc le domaine d'étude ça sera R+. Dans une seconde étape, une troisième étape, si vous voulez, le petit point 3, on remarque aussi que f de x plus 2pi est égal à f de x. Parce que le cos est périodique de période 2pi. Et donc c'est super, on se dit maintenant, on n'a plus qu'à prendre n'importe quel intervalle de taille 2pi, et on pourra avoir toute la fonction. C'est un petit exemple, après faire trois petits points, il y a l'étude à continuer bien sûr, on va étudier ensuite sur cet intervalle ce qu'il se passe. Mais c'est l'idée, je voulais vous donner la recette de base, le bon réflexe. Si on vous donne, en fait on est gentil dans les exos, souvent on vous dit petit a faire l'ensemble définition, petit b faire sa, petit c faire la dérivée, etc. Mais au cas où on vous laisse un peu dans le vide, il faut que vous ayez quand même une structure en tête, que vous sachiez vous dire, bon attend, même si on ne vous laisse pas dans le vide, si vous avez la structure en tête, quand vous arrivez sur un exo, vous comprenez la structure des questions. Vous savez pourquoi on vous demande le petit c après le petit d, etc. Et vous n'êtes pas surpris. Vous savez que c'est normal d'étudier la parité, que c'est normal, vous comprenez ce qu'on vous demande et vous savez où ça va. Comme ça vous dominez un petit peu plus l'exercice, vous êtes plus en sécurité, plus en sûreté, plus en confiance. C'est là dessus que je voulais insister, de toute façon vous verrez bien l'application pratique dans les vidéos de méthode. Sur ce, je vous dis à la prochaine, n'hésitez pas à poser des questions s'il y a besoin dans la FAQ. Bonne fin de journée, bonne fin de soirée.

Étudier une fonction trigo

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