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Fonctions Cos et Sin

Bonjour ! Dans ce cours, nous allons étudier la parité et la périodicité d'une fonction trigonométrique. Pour la périodicité, il est important de deviner la période probable de la fonction et de le démontrer ensuite. Pour la parité, il est plus simple de tester la fonction en remplaçant x par -x et de voir si cela donne f(x) ou -f(x). Dans notre exemple, nous avons la fonction f(x) = 7 sin(x/2). Il est essentiel de savoir que la fonction sin(x) est périodique de 2π. En utilisant l'astuce sin(kx), nous pouvons déduire que f(x) est périodique de 4π (puisqu'elle est de la forme sin(2x)). Visuellement, si nous augmentons k, la période diminue, et si nous diminuons k, la période s'étend. Pour notre exemple, nous savons avant même de faire les calculs que f(x) est périodique de 4π. Pour le prouver, nous pouvons montrer que f(x + 4π) = f(x). Ensuite, pour étudier la parité de f, il faut vérifier que son ensemble de définition est centré sur 0. Dans notre cas, il n'y a pas de problème, c'est R. En remplaçant x par -x dans la fonction, nous obtenons -f(x), ce qui prouve que f est impaire. Il est important de vérifier que l'ensemble de définition est bien centré sur 0, comme dans l'exemple de la fonction g définie sur R privé de 1, qui n'est pas impaire car son ensemble de définition n'est pas centré sur 0. En résumé, pour la périodicité, il faut deviner la période probable et la démontrer. Pour la parité, il suffit de tester en remplaçant x par -x pour voir si cela donne f(x) ou -f(x). Voilà pour ce cours sur la parité et la périodicité.

Bonjour tout le monde ! Dans cette méthode, on va regarder comment on étudie la parité et la périodicité d'une fonction trigonométrique. Ce qu'il faut retenir, c'est que pour la périodicité, il faut la deviner, dire que ça va sûrement être ça, c'est ça, et on le démontre. Pour la parité, c'est un peu plus simple, on teste f de moins x, et on regarde combien ça fait. Est-ce que ça fait f de x ou moins f de x ? Dans ce cas-là, on en déduit si elle est paire ou impaire. Regardons par exemple sur l'exemple qu'on nous donne tout de suite, la fonction f, c'est 7 sin x sur 2. Ce qu'il faut retenir, c'est que la fonction sin x est 2pi périodique, ça évidemment vous devez le connaître. Ensuite, la petite astuce, c'est que sin kx, je multiplie par k à l'intérieur du sinus, donc ça va être 2pi sur k périodique. A l'inverse, si je divise par k, ça va être 2pi fois k périodique. Ici, je le sais même avant de faire les calculs, que comme k égale 2 dans cet exemple-là, elle sera 2pi fois 2 périodique, c'est-à-dire 4pi périodique. Là, je vous ai représenté ce qui se passe, par exemple pour la fonction sinus, c'est la fonction sinus habituelle, et en dessous, j'ai représenté la fonction sinus de 2x, qui a une période plus courte. Visuellement, si on regarde un peu, là je peux jouer avec le sinus de kx. Si j'augmente k, on voit que ça va diminuer la période, elle va être de plus en plus courte. Au contraire, si je diminue k, ça va étendre jusqu'à ce que k tombe vers 0. Voilà comment ça se passe. Pour notre exemple, nous on sait que ça va être sûrement 4pi périodique, ce qu'on veut montrer. Je vais essayer de le montrer, je vais faire f de x plus 4pi, je fais le calcul, ça fait sinus de x plus 4pi sur 2, quand je divise par 2, il me reste 2pi, et comme sinus est périodique, je retourne sur la même chose. J'ai bien démontré ici que f est 4pi périodique. Ensuite, on nous demande d'étuyer la parité de f. Attention, il y a deux étapes, et souvent les élèves oublient une des deux. Pour démontrer la parité d'une fonction, il faut bien regarder que son ensemble de définition est centré sur 0. Ici, pas de problème, c'est R, mais il faut bien le vérifier et le préciser. Ici, je fais f de moins x, ça fait 7 sinus de moins x sur 2, j'utilise le fait que la fonction sinus est impaire, je peux sortir le moins, et du coup ça me fait moins f de x, donc la fonction est impaire. Un exemple pour voir pourquoi c'est très important de vérifier que l'ensemble est bien centré sur 0, je vais vous donner un exemple. Je crée une fonction g que je définis sur R privé de 1. C'est moi qui choisis, je définis sur R privé de 1, et qui a x associé sinus x. Cette fonction n'est pas impaire, parce que son ensemble de définition n'est pas centré sur 0. La fonction n'est pas définie en 1, mais elle est définie en moins 1, donc il n'y a pas de symétrie par rapport à ce nombre-là, du coup elle ne peut être impaire. Voilà pourquoi c'est très important de vérifier ça. Pour résumer, pour la périodicité, il faut la deviner, et une fois qu'on l'a devinée, on le démontre. Pour la parité, il suffit juste de tester, et ensuite on peut conclure si elle est impaire ou impaire. Voilà pour cette petite vidéo sur la parité et la périodicité.

Parité d'une fonction trigo

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