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Fonctions Cos et Sin

Dans cette vidéo, on résout une inéquation trigonométrique de degré 3. L'astuce pour résoudre ce genre d'exercice est de poser un changement de variable, en l'occurrence x = cos(x). On nous donne une équation trigonométrique avec du cos(3x) et du cos(2x), et on nous demande de déterminer les solutions.

Tout d'abord, on vérifie que f(1) = 0, ce qui nous permet de trouver une racine évidente. Ensuite, on détermine les valeurs de a, b et c pour réécrire f(2x) sous la forme ax² + bx + c.

On utilise la méthode d'identification pour obtenir les valeurs de a=2, b=-1 et c=-1. En remplaçant dans l'expression de f, on obtient f(x) = (x-1)(2x²-x-1).

Ensuite, on étudie le signe de f en utilisant un tableau de signes. On détermine les racines du polynôme en résolvant l'équation 2x²-x-1=0.

Pour résoudre l'inéquation cos(3x) - 3cos²(x) + 1 > 0 dans l'intervalle [0, 2π], on utilise le changement de variable x = cos(x) et on résout cos(x) > -1,5.

On utilise le cercle trigonométrique pour trouver les valeurs de cos(x) supérieures à -1,5 dans l'intervalle [0, 2π]. On obtient deux intervalles de solutions: [0, 2π/3] et [4π/3, 2π].

Finalement, on vérifie que les solutions obtenues respectent les intervalles demandés.

Il est important de raisonner rigoureusement et de visualiser les solutions en utilisant le cercle trigonométrique.

Bonjour tout le monde ! Dans cette méthode, on va résoudre une inéquation trigonométrique de degré 3. Alors ça va être guidé, évidemment, parce que c'est pas forcément facile à résoudre, mais on va voir des méthodes un peu typiques pour résoudre ce genre d'exercice. On nous pose une équation trigonométrique, qui est la suivante, et une équation où il y a du cos3x et du cos2x. Donc à chaque fois, dans toutes les équations, ou une équation d'ailleurs trigonométrique, l'astuce va être de poser grand x égale cos x, ou sin x, ça dépend des fois. Donc là, si on pose ce truc là, on se retrouve avec la fonction f en grand x que l'énoncé me fait poser. Là on est guidé, on aurait pu ne pas l'être, mais tout de suite, ce à quoi il faut penser, c'est de poser ce changement de variable grand x égale cos x. Bon, imaginez que je ne l'ai pas vu, j'étudie simplement ce que me dit l'énoncé à la question 1. Donc là, f2x, ça vaut 2x3 moins 3x² plus 1. Pourquoi on me demande de vérifier que f1 égale à 0 ? En fait, il faut se songer à ça, c'est pour montrer que 1 est racine, parce qu'on essaie de trouver les racines de ce polynôme. Et comme c'est un polynôme de degré 3, 3 on ne sait pas résoudre. On sait résoudre degré 2, mais degré 3 on ne sait pas. La seule façon pour nous de résoudre, c'est de trouver une racine évidente, pour pouvoir continuer à factoriser et de retomber sur un polynôme de degré 2 qu'on sait résoudre. Donc là, c'est exactement ce qui va se passer. Je vérifie ce que me dit l'énoncé, je vois que 1 est racine, tout à fait. Et donc, à la deuxième question, on demande de déterminer RL a, b, c, tel que f2x s'écrit sous cette forme. En fait, on reconnaît quoi ? On reconnaît la factorisation par la racine, qui est 1, quoi, du coup, un polynôme qui est de degré 1 inférieur par rapport à celui de tout à l'heure, c'était de degré 3, donc je passe à du degré 2. Et ça, le ax² plus bx plus c, je saurais trouver aussi son signe, parce que là, c'est un trinôme de degré 2 usuel. Donc là, tout simplement, la méthode, elle est très simple, si on le fait dans le bon sens, c'est qu'on procède par identification. C'est beaucoup plus facile en maths de développer que de factoriser, donc je développe tout ce terme-là, je regroupe terme par terme, les x², les x², les termes en x, les termes en degré 0, et j'identifie. Donc là, je développe tout ça, ça me fait cette expression-là, je développe et je regroupe, donc j'ai un terme en ax³, b-ax², c-bx, et –c en degré 0. Et ça, je sais que ça va être égal à la fonction f, c'est-à-dire 2x³-3x³ plus 1. Donc en fait, je fais par identification a égale 2, b-a égale –3, c-b égale 0, et –c égale 1. Donc ça me fait 4 équations, avec 3 inconnues seulement, donc tout de suite j'ai a égale 2, donc je résous, ça c'est vraiment un système assez simple à résoudre. Du coup, comme j'ai trouvé a, je trouve b, ça fait b égale –1, et ensuite c égale –1. Donc j'ai a, b, c, c'est bon, j'ai trouvé, je remplace, voici mon expression de f. C'est x-1 facteur de 2x²-x-1. Très bien, ensuite, on me demande d'étudier le signe de f. Bon, là il suffit d'étudier, de faire un tableau de signes. Ce x-1, bon c'est très facile, et 2x²-x-1, je vais juste faire l'étude du trinôme, avec le delta, etc. Donc je pose ce polynôme là, je calcule son delta qui vaut 9, je fais mes 2 racines, –b, –racine de delta sur 2a, –b, plus racine de delta sur 2a, ça fait –1,5, et 1. Donc du coup je peux avoir le tableau de signes de 2x²-x-1, qui change de signe, alors attention, le signe de a est positif, donc c'est un polynôme en u, comme ça, hop, c'est d'abord positif, puis négatif, puis positif, au passage de racine, et x-1 qui évidemment est positif avant, pour x-1, et qui est positif ensuite. Donc j'ai mon petit tableau de signes pour f, qui est le suivant, –+, –, et on change de signe en –1 et 1. On déduit les solutions de l'inéquation de cos3x-3 cos²x plus 1 super à 0 dans 0,2pi, donc ça c'est toujours important, on fait attention à l'intervalle dans lequel on nous demande, donc là on va faire intervenir le changement de variable que je vous ai indiqué tout à l'heure, c'est-à-dire grand x égale cos x, alors c'est là où il faut faire attention, petite subtilité, à partir du moment où je pose grand x égale cos x, grand x est forcément compris dans –1, 1, l'intervalle –1, 1, parce que c'est un cosinus. Donc x appartient à R, petit x, mais de part ce qu'on a fait, grand x, il n'appartient que dans –1, 1, donc en fait si je trouve d'autres solutions, vu que c'est un cosinus, il faut que je me restreigne à ces solutions-là. Donc pour f de x super à 0, j'utilise f de grand x super à 0, j'utilise mon tableau de signes qui était juste là, et du coup ça veut me dire que x est compris entre –1,5 et 1, donc voilà, ça tombe bien, les solutions que j'ai sont de toute façon, ici que j'ai trouvé, sont entre –1 et 1, donc c'est bon, je peux toutes les garder. Donc il faut que grand x, moi je dis que grand x soit supérieur à –1,5, parce que forcément, de toute façon, par essence même, comme c'est un cosinus, il sera inférieur à 1. Donc là je vais résoudre cos x supérieur à –1,5, là évidemment on reconnaît où est –1,5, –1,5 c'est le cosinus de 2pi sur 3, donc là c'est pareil, il faut savoir jongler avec le cercle trigonométrique, soit vous le faites sur le brouillon, soit dans votre tête, mais voilà, c'est toujours le cercle trigo. –1,5, il faut connaître ses valeurs, soit les retrouver rapidement, moi je connais très bien celles du premier cadran, la cos de pi sur 3, pi sur 4, pi sur 6, celles-là il faut les connaître, et après je retrouve toutes les autres. Voilà, je sais que, j'utilise par exemple ici que cos de pi moins x, pi moins x est égal à cos x, moins cos x, pardon, moins cos x. Donc ici pour 1,5, je sais que 1,5 c'est cos de pi sur 3, donc –1,5 ça va être cos de pi moins pi sur 3, c'est-à-dire 2pi sur 3. Donc ça il faut savoir, c'est vraiment par habitude, que vous allez de plus en plus rapidement trouver ces valeurs-là. Donc il faut que le cos x soit supérieur à –1,5, bon là je vois très bien sur mon cercle trigo que j'ai dessiné, que pour être supérieur à –1,5, c'est dans tout cet intervalle-là. Donc je l'ai retrouvé par le calcul. Donc il faut que x soit compris entre –2pi sur 3 ici, et 2pi sur 3, voilà. Plus 2kpi évidemment, parce que c'est toujours défini modulo kpi. Alors attention, le k ici est le même que là, c'est le même, parce qu'il faut que je passe sur le trait comme ça. Si jamais j'ai par exemple k égale 0 ici et k égale 1, ça veut dire que j'aurais fait un tour complet, j'aurais fait ça jusqu'à hop, et je repasse une deuxième fois. Et du coup je serais passé par cette zone interdite. Donc c'est le k, c'est le même ici et ici. Il peut prendre différentes valeurs, mais il faut que ce soit le même. Donc là je résous, je trouve très facilement dans mon intervalle qui est 0 de pi, dans mon intervalle 0 de pi, il va me rester 0 à 2pi sur 3, je commence à 0, et quand je continue à faire le tour, là je ne peux pas, je ne peux pas, je ne peux pas, je ne peux pas, et à partir d'ici 4pi sur 3 jusqu'à 2pi. En résolvant rigoureusement, on obtient ça. Pour cette partie-là, je ne vais pas détailler le calcul ici, mais il faut que cette valeur soit supérieure à 0. Pour qu'elle soit supérieure à 0, il faut que k soit au moins égal à 1. Voilà pourquoi ça fera 4pi sur 3. Donc quand k égale 1, ça va me faire la première partie, ça va me faire cette partie-là, entre 4pi sur 3 et 2pi. Donc là j'aurais x qui est supérieur à 4pi sur 3, et qui est inférieur à 2pi à cause de ce qui est demandé. Et pour cette partie-là, j'ai x qui est inférieur à 2pi sur 3 plus 4pi, donc je peux prendre k égale 0 ici pour ce morceau-là, et pour k égale 0, j'obtiens l'intervalle 0, 2pi sur 3. Donc voilà, il faut bien résonner rigoureusement, et voilà pour cette inéquation. Encore une fois, c'est le cercle trigonométrique qui m'aide à bien visualiser les solutions, je vous invite à tout le temps le faire, que ce soit au brouillon ou sur la copie, pour expliquer votre raisonnement au correcteur. C'est ce qui vous permet de bien raisonner, de ne pas oublier des solutions dans le calcul. Voilà pour cette vidéo, si vous avez des questions, n'hésitez pas à aller consulter la FAQ.

Inéquation de degré 3

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