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Révisions Maths lycée

Géométrie Terminale

PS et orthogonalité

Dans ce cours, nous avons un cube avec un point O au centre. Le but est de trouver l'angle entre les deux diagonales AG et OF. Pour cela, nous allons utiliser la formule du produit scalaire avec le cosinus.

Nous pouvons considérer ce cube comme un espace en trois dimensions avec A, B, D et E étant les vecteurs unitaires. En notant les coordonnées des différents points, nous avons D(0,1,0), G(1,1,1) et F(1,0,1).

En calculant les vecteurs AG et DF, nous obtenons AG(1,1,1) et DF(1,-1,1). La norme de AG est √3 et la norme de DF est aussi √3. Nous pouvons donc écrire l'équation AG.DF = √3 * √3 * cos(FOG).

En résolvant cette équation, nous trouvons que cos(FOG) est égal à 1/3. En arrondissant à 0,01° près, nous obtenons un angle d'environ 70,53°.

L'initiative de poser un repère et de calculer les normes et le produit scalaire permet de résoudre efficacement ce problème.

Vous avez un cube d'arrêt 1, de centre, le point O. On veut l'angle en degrés arrondis à 0,0,1, pour ça je vous laisserai faire les calculs, entre les deux diagonales, AG, OF. Dès que vous avez un exercice comme ça, ça va vous rappeler ce que vous faites en géométrie dans le plan, dès que vous avez trouvé un angle, il faut tout de suite penser au produit scalaire. Votre accès à l'angle sera via la formule du produit scalaire avec le cosinus. Vous aurez le cosinus entre deux vecteurs, et c'est ça qui va vous permettre de le trouver. L'avantage du produit scalaire, c'est que vous avez plein de différentes formules pour le trouver. Il y a une formule où il y a le cosinus de l'angle, ça c'est parfait, et il y a d'autres formules, moi je vais utiliser ici une formule avec des coordonnées, qui vont permettre d'accéder à la valeur du produit scalaire lui-même. Si j'écris un peu, vous pourrez justifier ce que je viens de dire. AG.DF, c'est, avec la définition de l'angle, la norme de AG, multipliée par la norme de DF, multipliée par l'angle entre les deux. Entre les deux, on parle de ça et ça, donc en gros c'est l'angle FOG si vous voulez. Et donc, si par une autre manière j'arrive à calculer AG.DF, vu que AG et DF sont des normes faciles à calculer, j'aurais plus qu'à diviser le produit scalaire écrit ici par les normes pour trouver le cosinus. Comment faire ici ? Moi je n'ai pas trop hésité, alors peut-être qu'il y a d'autres manières, n'hésitez pas à me dire dans les commentaires, si vous avez une façon un peu plus rapide. Moi je me suis dit, je prends des coordonnées. Je vais expliquer que je peux lire ce cube comme la représentation d'un espace en trois dimensions. On pourrait dire que AB, c'est en fait un vecteur unitaire. Donc c'est un vecteur unitaire I, comme on fait d'habitude en mathématiques. AD, quant à lui, sera un petit vecteur unitaire J. Et AE sera le petit vecteur unitaire K. Donc en fait je me dis, ça en fait c'est un espace, et j'ai des coordonnées pour tous ces points. Dans ce repère A, AB, AD, AE, j'ai A qui est l'origine. Très bien, ensuite je vais essayer de noter toutes les différentes coordonnées des différents points. Donc j'ai les points qui sont intéressants ici, qui sont AG, D, F. Je vais commencer avec peut-être D. Il est sur la deuxième coordonnée uniquement. Donc c'est 0 sur AB, 1 sur AD, 0 sur AE. Ensuite on a G et F. G c'est assez simple parce qu'il est à l'opposé complètement. Donc il a 1 ici, 1 ici, 1 ici. Donc c'est le vecteur 1, 1, 1. Le point, si vous voulez, 1, 1, 1. Et enfin j'ai F, qui lui est donc 1 sur AB. Il est décalé vers la droite. 1 sur AB, 0 sur AD, 1 sur AE. Je prends deux minutes pour réfléchir à ça. Ensuite je peux m'intéresser aux deux vecteurs. AG égale, bon A étant l'origine, c'est la même chose que ce qu'on a ici. Donc ça AG c'est 1, 1, 1. Aucune difficulté particulière. Et ensuite j'ai DF qui vaut, alors on va faire un calcul des vecteurs, 1 moins 0, 0 moins 1, 1 moins 0. J'en déduis la norme de AG, tant que j'y suis. Norme de AG c'est racine de 1 au carré plus 1 au carré plus 1 au carré, 3. Norme de DF, c'est racine de 1 au carré plus moins 1 au carré plus 1 au carré. C'est aussi racine de 3. Parfait. Il me faut donc AG. Je nomme les deux expressions du produit scalaire. Une qui est ici, AG.DF. Une qui est ici. Et j'ai calculé mes normes, dès que j'ai eu l'occasion d'avoir les vecteurs. Je mets tout ça ensemble, en copiant dans l'équation au-dessus. Tout ce que j'ai à faire c'est dire, dans l'équation qui est ici, je remplace tout. Je dis AG.DF égale 1, égale la norme du vecteur AG, racine de 3, fois la norme du vecteur DF, racine de 3, fois le cosinus de FOG. Et là vous prenez les calculs, vous mettez cos moins 1, 2, 1 tiers et vous trouvez tout ce qu'il faut. Vous arrondissez comme on vous a demandé, à 0,01° près. Pas trop compliqué, il faut juste prendre l'initiative. Vous vous dépatouillez pour écrire la première définition, vous savez que vous faites apparaître le cos. Maintenant vous avez un travail à faire sur le calcul du produit scalaire et des normes. Je pense que là, l'initiative de poser un repère vous garantit des résultats efficaces, donc il ne faut pas hésiter.

Trouver un angle avec le produit scalaire

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