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Révisions Maths lycée

Géométrie Terminale

Plans et projetés

La méthode classique pour déterminer la distance entre un point dans l'espace et un plan consiste à prendre la distance minimale. Cela peut être visualisé comme une projection orthogonale où l'on descend perpendiculairement depuis le point jusqu'au plan. La formule de distance entre un plan P et un point A est donnée par l'équation |Ax + By + Cz + D| / ||n||, où (x, y, z) sont les coordonnées du point A, (A, B, C) est un vecteur normal au plan P, et D est une constante.

Dans ce cours, nous prenons un point C et un plan avec une équation de la forme Ax + By + Cz + D = 0. Nous trouvons un vecteur normal au plan, noté n, et utilisons cette formule pour calculer la distance entre le point C et le plan. Pour trouver le point H, qui est le projeté orthogonal du point C sur le plan, nous posons des coordonnées XH, YH, ZH et définissons les conditions pour que CH soit parallèle à n et que H appartienne au plan. En résolvant ces conditions, nous obtenons des expressions en fonction d'un paramètre lambda, que nous substituons dans l'équation du plan pour trouver les coordonnées exactes de H.

En utilisant les coordonnées de H, nous pouvons alors calculer la distance CH, qui est la distance de projection entre le point C et le plan. En utilisant le facteur de proportionnalité lambda entre CH et n, nous obtenons la norme de CH, qui est la distance minimale entre le point C et le plan. Cette distance peut être calculée en utilisant la norme de n.

Encore une méthode pas mal classique, déterminer la distance entre un point de l'espace et un plan. Vous avez un point quelque part dans l'espace, vous avez un plan, on veut savoir quelle est la distance entre les deux. On va appeler distance entre un point et un plan la distance minimale. Vous avez un plan comme ça, vous avez un point ici, vous pourrez dire que la distance c'est ça, un truc diagonal. Ça peut être un truc diagonal, mais dans ce cas-là, on veut le quand on n'a pas de définition unique, donc c'est embêtant. Donc au lieu de prendre n'importe quelle définition, on prend pour distance la distance minimale sous-entendue. Donc la distance minimum, quand vous avez un plan genre comme ça, pour ce point-là, c'est une projection orthogonale. Vous descendez avec un angle droit. Quand je dis triche, là je vous présente, je l'ai écrit à l'avance, une formule qui est apprise par cœur en prépa. En prépa, on vous dit ça, vous pouvez l'apprendre. Avant, il me semble qu'on l'apprenait aussi par cœur au lycée. C'est la formule de la distance entre un plan P et un point A. Donc quand vous avez un point de certaines coordonnées x, y, z, a, vous avez un plan A x plus P y plus C z plus D, donc tout ça c'est classique, il y a la zéro. Un vecteur normal de ce plan, je prends A, B, C. La distance du point au plan, c'est assez simple, on prend la valeur absolue de l'équation du plan avec les coordonnées de A et on divise ça par la norme du vecteur normal. Je vous donne triche en mode, si vous l'avez dans un coin, vous le marquez sur votre feuille, sur votre contrôle, c'est pratique de se dire, je vérifie que je ne me suis pas trop planté. Mais ce qu'on va attendre de vous aujourd'hui dans le programme, c'est que vous redémontriez à chaque fois le résultat. Donc, on a le point C, on a ce plan-là, et on prend un vecteur normal tout de suite que je pose, que j'explicite. Je dis n, c'est donc 2, moins 3, 1. On va poser H le projeté. Moi ce que je vais faire, je fais une petite figure quand même, c'est que je suis ici, j'ai un point A qui vogue au-dessus. Ce que je cherche, c'est cette distance. Alors cette distance, hop, ce qui lui arrive c'est qu'en fait, je peux la nommer, le projeté orthogonal de A s'appelle H, et donc pour trouver cette distance AH, je vais peut-être avoir besoin de trouver les coordonnées exactes du point H projeté orthogonal du point A. Donc c'est ce qu'on va chercher tout de suite. On va définir H avec des coordonnées XH, YH, ZH, comme le projeté de C à deux conditions. Si et seulement si CH est parallèle à N, c'est-à-dire qu'en fait il ne faut pas que le point H, par exemple si vous prenez ce point ici pour un point H, CH arrive sur le plan de manière oblique, ça ne marche pas. On veut un CH tel que ce soit perpendiculaire, mais ça il y en a beaucoup, en fait il y a tous les points de la droite qui sont ici. On ajoute une condition qui est qu'il faut que H appartienne au plan. Donc ça on va traduire. On va pouvoir dire si et seulement si, la première condition c'est il existe lambda appartient à R. Ce n'est pas trop compliqué, on va aller sortir de là l'expression des coordonnées. Il existe lambda appartient à R tel que Qu'est-ce qu'on fait maintenant ? J'ai trouvé XH, YH, ZH en fonction de lambda. Je vais trouver lambda en prenant ces trois expressions et en les remplaçant dans l'équation de H dans le plan P. Pour ça, ce n'est pas trop compliqué. J'écris deux fois, ça me donne tout de suite 4 lambda, plus 9 lambda, plus 1 lambda, ça fait 10, 14 lambda. On a trouvé le lambda, c'est le facteur de proportionnalité entre le vecteur CH et le vecteur n. J'obtiens que la norme de CH, c'est la norme du vecteur lambda n, c'est donc égal à 3 septième de la norme de n, qui est racine de n, c'était 2 moins 3, 1, donc 2 au carré, plus moins 3 au carré, plus 1 au carré, égal 3 sur 7, racine de 4 plus 9 plus 1, racine de 14. Voilà la distance entre le point C et le plan. Ce n'est pas trop compliqué, là je détaille beaucoup parce que je pense que c'est important, les méthodes sont un peu systématiques. Vous trouvez votre projeté H, vous utilisez le projeté H pour exprimer cette distance CH, la distance de projection, la distance entre le point et le plan, c'est la distance CH. Vous trouvez le lambda qui vous donne accès au vecteur CH qui s'exprime comme une certaine fraction du vecteur n, et puis ça nous donne facilement, ici, la norme. La norme c'est la distance entre le plan et le point.

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