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Révisions Maths lycée

Géométrie Terminale

Plans et projetés

Dans cet exercice, nous devons trouver une équation paramétrique pour deux droites, montrer qu'elles ne sont pas coplanaires, vérifier que certains points appartiennent à ces droites, démontrer que la droite HK est perpendiculaire aux deux droites et calculer la distance entre ces droites.

Pour commencer, nous avons un point et un vecteur directeur pour chaque droite, ce qui nous permet de trouver des équations paramétriques de ces droites. Ensuite, nous devons montrer qu'elles ne sont pas coplanaires, ce qui signifie qu'elles ne sont ni parallèles ni ne se croisent.

Ensuite, nous devons vérifier si certains points sont sur ces droites, ce qui nous permet de calculer la perpendiculaire commune entre les droites D et D'. Nous utilisons également le dessin pour nous aider à visualiser la situation.

Enfin, nous calculons la distance entre les deux droites en utilisant la distance HK, qui correspond à la norme du vecteur HK. Cet exercice peut être un peu long mais reste faisable avec de la confiance et une bonne compréhension des concepts.

Un exercice un peu plus complet, on vous dit, on considère une droite passant par un certain point avec un certain vecteur directeur. Donc déjà moi je commence à comprendre que j'ai un point, j'ai un vecteur directeur, je pourrais faire une méthode très basique que je vais vous montrer, que vous connaissez sûrement. Mais une méthode très basique pour trouver une équation paramétrique de la droite. La droite déprime de la même manière que définie par un point B et un autre vecteur directeur. Donnez une représentation paramétrique, justement on va le faire, de chacune des droites. Montrez qu'elles ne sont pas coplanaires, donc là il faudra réfléchir un petit peu à ce que ça veut dire. Vérifiez que le point H est sur D et le point K est sur D', ça devrait rouler tout seul. Démontrez que HK est la perpendiculaire commune entre D et D', et calculez la distance entre les droites. Donc là il faudra faire un dessin, j'ai envie de le faire au début pour ne pas subir l'exercice. Donc si je fais un dessin comme ça, je suppose que les droites ne sont pas coplanaires. Donc si vous voulez je vais faire en dessous, au loin, une D', qui passe mais bien loin. C'est à dire qu'elle est vraiment en dessous, dans le fond si vous voulez. Elle ne croise pas D, donc je laisse un petit vide là pour qu'on voit la perspective. Donc D' est bien en dessous, lointaine. On vous dit qu'il doit exister une perpendiculaire commune. Une perpendiculaire commune ce serait quoi ? Ce serait une droite qui sera perpendiculaire à celle-ci, comme ça par exemple, mais aussi perpendiculaire à celle-ci. Ces deux là comme vous voyez n'ont rien à voir, donc j'ai pris des perpendiculaires au hasard. Donc celles-ci sont distinctes, chacune des deux droites noires que j'ai tracées ne sont pas perpendiculaires pour les deux droites. Il doit exister une perpendiculaire unique aux deux, qui en fait va être comme ceci. Et donc elle sera perpendiculaire à cette droite là, et à cette droite là. Une fois qu'on a trouvé une perpendiculaire commune aux deux droites D et D', alors honnêtement on ne va même pas la chercher, là ils sont gentils parce qu'ils nous donnent les points pour lesquels ça arrive. Ce serait un exercice beaucoup plus long si on devait le faire nous-même. Une fois qu'on a ça, on nous dit calculez la distance entre les deux droites. On comprend que comme la distance d'un point à un plan c'est la distance minimale de ce point au plan, là ça va être la distance minimale entre les deux points les plus proches l'un de l'autre de ces deux droites. Donc ça sera les deux points H et K en l'occurrence. Il faut avoir ce dessin en tête quand vous commencez l'exos pour être bien à l'aise et pour ne pas trop être perdu dans ce que vous faites. Donc à partir de D ici et seulement ici, je vous rappelle, petit a, on passe par ce point là, petit 8 est un vecteur directeur. Donc il faut absolument que les points M soient les points, tel que j'ai un point A ici si vous voulez, A ici, un B là-bas, avec des petits vecteurs unitaires. Donc tous les points M qui sont sur la droite sont des points tels que A et M sont bien parallèles, les vecteurs A et M sont bien parallèles aux vecteurs U. Donc ça ça veut dire quoi ? Si et seulement si. M', X', Y', Z', à partir de D', si et seulement si, exactement au même ordonnement. Donc c'est un peu lourdin et je le fais vite. B, M', parallèle A, c'est pas U', c'est V. Si et seulement si, il existe un T'. Je fais exprès de mettre des primes partout pour pas confondre les écritures, vous voyez bien sûr qu'on parle de deux choses différentes, tel que, cette fois-ci c'est par rapport au point B, donc c'est X'-5. Un petit rappel, ça c'est, il existe, en langage de MathE, ça c'est, quel que soit. Donc un E à l'envers par rapport à un axe vertical, et un A à l'envers par rapport à un axe horizontal. Donc, ça c'est la première question, voilà les deux orientations paramétriques pour chacune des droites. Parfait. Démonter qu'elles ne sont pas coplanaires. Qu'est-ce que c'est des droites coplanaires ? Ce sont des droites dans le même plan. Donc pour être dans le même plan, quand les droites sont dans le même plan, il y a deux choses. Deux cas possibles. Soit elles sont parallèles. Deux droites parallèles constituent toujours un plan. Si vous prenez chaque plan, hop, on a deux droites parallèles comme ça. Elles sont toujours, il suffit de tracer un plan, on peut tracer un rectangle si vous voulez, un parallélogramme qui définit un plan. Parfait. Soit, si elles sont dans un même plan, donc elles sont soit parallèles, soit elles se croisent. Et c'est le cas en fait de tout ce que vous n'avez jamais vu sur les fonctions affines. Vous avez votre plan en deux dimensions, vous avez deux fonctions affines, soit elles sont parallèles, soit elles se croisent. Donc ce qu'il faut montrer ici, c'est que donc les droites ne sont ni parallèles, ni n'ont aucun point d'intersection. Si elles ne sont ni parallèles et elles n'ont pas non plus de point d'intersection, c'est un troisième cas qui peut exister que dans l'espace, qui n'existe donc pas dans le plan en deux dimensions, alors elles sont comme ça, comme le dessin que je vous ai filé ici. C'est-à-dire qu'il y en a une qui est un peu au-dessus de l'autre, elles se croisent comme ça, sans se toucher. Elles ne se croisent pas en l'occurrence, elles ne se touchent pas, elles se voient si vous voulez, mais voilà, elles ne se croisent pas. Donc on va checker ça en deux secondes. Les vecteurs directeurs des droites U et V ne sont pas parallèles. En fait, il n'y a pas un qui est en combinaison de l'autre. On n'a pas V, il y a le 3 fois U. Donc vu que les deux sont différents, les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles, donc les droites ne sont pas parallèles. On a éliminé ce cas-là. Maintenant, il faudrait éliminer la possibilité d'avoir un point d'intersection. Donc supposons, petit raisonnement par l'absurde, qu'il y a un point d'intersection au droit de D et D'. C'est-à-dire qu'il y a un point pour lequel il va exister un T, tel que sa coordonnée va s'écrire, ses coordonnées x, y, z vont s'écrire T-2, 5T+, 8, etc. Mais il va aussi exister un T' tel que ses coordonnées s'écrivent comme ça. On va essayer d'aboutir à une contradiction. Donc si un point appartient à D inter D', ça veut dire D et D' à la fois, qu'est-ce que je pourrais écrire ? On va voir ce que je peux faire avec ces trois équations, et on va voir si c'est cohérent, et que je trouve des valeurs de T et T' cohérentes. Alors il y a un point d'intersection, et donc il y a une erreur dans l'exercice. Ou alors j'ai trouvé une incohérence, qui va me dire que ce n'est pas possible de trouver de telles T et T', donc elles ne se croisent pas, elles ne sont pas parallèles, elles ne sont pas coplanaires. Le plus simple, c'est ça. En fait, là j'ai trois équations, que je vais appeler, je ne sais pas, 1, 2, 3. Il me faut trois équations ici, donc la première que je vais faire, c'est 1 plus 3. 1 plus 3, ça va me faire 2, égal, 5 moins 3, 2, plus 3 T'. Trop bien, je trouve 3 T' direct. Bon là je trouve tout de suite que T' vaut 0. Donc je fais l'équation 2 moins l'équation 3, cette fois-ci pour me débarrasser du T'. Donc ça va me faire, égal, 1 moins moins 3, 4. Et à gauche, quand je fais ça moins ça, ça fait 6 T, plus 4. Là je trouve T égal 0. Donc on a un problème. Si j'ai T égal 0, T' égal 0, je me retrouve avec des trucs du genre 8 égal 1. Vous prenez cette équation-là, 5T plus 8 égal 1 plus T'. Si je dis que T et T' sont nuls, j'ai 8 égal 1. Contradiction. En fait, c'est sûr que vous allez trouver une contradiction, parce que l'énoncé vous dit qu'elles sont coplanaires. Donc en fait, si vous cherchez un T et un T', enfin un couple T-T' qui satisfait à ce système-là, c'est que l'exercice est trompé. Donc en gros, vous savez, il faut y aller avec cette confiance-là quand on commence ce genre de questions. C'est un peu moche, mais il faut se dire, je me dépatouille un peu, j'exprime T, j'exprime T', j'ai trois équations, normalement je verrai une contradiction. Donc là, vu que je ne me suis même pas embêté à écrire la troisième équation, je pourrais en écrire, si je veux garder l'équivalence entre les différentes étapes, je pourrais écrire la troisième équation. C'est faux d'écrire 1 égal 8, mais j'ai le droit de l'écrire, parce que c'est faux, c'est-à-dire que la valeur de vérité de ça, c'est la même valeur de vérité que ça, et c'est la même valeur de vérité que ça. C'est-à-dire que ça, ça n'a aucune valeur de vérité, c'est faux, donc ça c'est faux, donc ça c'est faux, donc l'existence de T et T' est fausse. Donc, pas de point commun. Mais voilà, ça fait plus peur à l'écriture que ce que c'est en fait. Ce n'est pas très compliqué une fois que vous visualisez bien ce que vous voulez. On a dit de vérifier que le point H est sur D, que le point K est sur D', et là je trouve –T égal 1, T égal –1. Parfait, donc c'est bon, j'ai trouvé une valeur de T unique, telle que je puisse écrire les coordonnées du point H selon le paramétrage que j'ai trouvé précédemment pour la droite D. Petit 4. Démontrer que HK est la perpendiculaire commune aux droites D et D'. Comment on montre que HK est perpendiculaire à D ? Pour qu'elle soit commune, il suffit de montrer qu'elle est perpendiculaire aux deux. HK perpendiculaire à D, c'est celui-ci, HK. Scalaire vecteur directeur de D, Scalaire U, donc Scalaire U c'est 1, 5, –1, égal 0. H appartient à la droite D, HK est perpendiculaire à la droite D. K appartient à D'. K est donc perpendiculaire. HK est donc perpendiculaire à D'. Elles ne sont pas juste orthogonales, elles ont un point commun, donc D'est bien perpendiculaire à HK. On a trouvé une perpendiculaire commune. La distance entre les droites, on a compris avec le dessin que j'ai fait précédemment, je vous avais fait le dessin en introduction, la distance entre les droites, on va la définir comme la distance HK. Donc la norme du vecteur HK. 3, 1, 2, 14. Voilà. Donc un exercice un peu long, mais faisable.

Distance entre deux droites non coplanaires

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