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Arrangement permutation combinaison

Dans ce cours, nous apprenons à utiliser les combinaisons avec les intersections. Pour illustrer cela, nous prenons l'exemple de 20 élèves, parmi lesquels 14 aiment les maths, 7 aiment la physique et 4 aiment les deux matières.

Nous utilisons un diagramme pour représenter ces informations. Parmi les 20 élèves, 10 aiment les maths, 4 aiment à la fois les maths et la physique, et 3 n'aiment que la physique. En déduisant cela, nous pouvons conclure que 3 élèves n'aiment ni les maths ni la physique.

Ensuite, nous nous demandons combien de sous-groupes de 4 élèves parmi les 14 qui aiment les maths peuvent être formés. Comme il s'agit d'une combinaison, l'ordre n'a pas d'importance et il n'y a pas de répétition. Nous devons donc calculer combien de sous-ensembles possibles peuvent être créés avec 4 élèves parmi les 14. Cela correspond à "14 parmi 4", ce qui signifie 14! divisé par 4! et 10!. Simplifiant cette expression, nous obtenons 14 x 13 x 12 x 11, soit 1001.

Ensuite, nous nous demandons combien de groupes comportent 2 élèves qui n'aiment que les maths et 2 élèves qui n'aiment que la physique. Il s'agit de deux sous-groupes distincts à l'intérieur du groupe de 4 élèves. Nous avons 10 élèves qui n'aiment que les maths et 3 élèves qui n'aiment que la physique. Nous devons donc choisir 2 élèves parmi les 10 qui n'aiment que les maths et 2 élèves parmi les 3 qui n'aiment que la physique. Cela correspond à "2 parmi 10" multiplié par "2 parmi 3". En effectuant les calculs, nous obtenons 135 possibilités.

Ainsi, nous pouvons utiliser les combinaisons et les intersections pour résoudre des problèmes de ce type.

Alors maintenant qu'on a vu comment utiliser les combinaisons, on va voir comment fonctionnent les combinaisons avec les intersections. Donc le problème il commence un peu comme une méthode qu'on a déjà fait avec les diagrammes et les intersections. Donc on prend 20 élèves au hasard dans une classe et parmi ceux-là il y a 14 élèves qui aiment les maths, 7 qui aiment la physique et 4 qui aiment les deux. On va faire un petit diagramme pour déjà comprendre ce que ça veut dire. Donc là j'ai mes 20 élèves, parmi ceux-là il y en a 10 qui aiment les maths, 4 qui aiment les maths et la physique et 3 qui n'aiment que la physique. On déduit rapidement grâce aux 4 qui sont au milieu. Donc ça veut dire 3 qui n'aiment rien, ni la maths ni la physique. Et donc maintenant on va prendre au hasard parmi ces sous-groupes des élèves et on dit parmi tous les choix possibles, ces groupes de 4, combien comporte 4 élèves qui aiment les maths. Là c'est vraiment décombinatoire parce que dans mes groupes je n'ai pas d'ordre qui compte et je n'ai pas de répétition. Donc là c'est des combinaisons que je vais faire. Donc dans mes sous-groupes de 4 élèves, il faut que j'en prenne 4 parmi les 14 qui aiment les maths. Donc il y a combien de sous-ensembles possibles à construire parmi ces 14 ? C'est 4 parmi 14. 14! divisé par 4! 4! et 10! Alors attention, si vous avez le droit à la calculatrice, ok très bien. Quand vous n'avez pas le droit à la calculatrice, souvent ça se simplifie énormément. Donc il faut toujours se dire que les deux gros vont se simplifier partiellement. Celui du bas va disparaître et là il ne reste que 14 x 13 x 12 x 11. Parce que 14! sur 10! il y a tous les termes à partir de 10 qui disparaissent. Et le reste c'est 4 x 3 x 2 fois. Donc ça vous allez me dire de tête que ce n'est pas évident, je suis d'accord. Mais parfois vous aurez 2 parmi 4, ça se calcule très facilement, pas besoin de le faire à la calculatrice. Simplifier, il ne reste pas beaucoup de termes. Donc pour les fois où on n'a pas le droit à la calculatrice, ne faites pas tous les termes. Voyez les simplifications. Donc là ça fait 1001. Ok très bien. Deuxième question. Combien comportent... Alors il faut 2 élèves qui n'aiment que les maths et 2 élèves qui n'aiment que la physique. Donc finalement à l'intérieur de ce sous-groupe de 4, j'ai deux sous-groupes de 2. Dans le premier sous-groupe j'ai que des élèves qui aiment la physique, qui aiment que la physique. Et des élèves qui aiment que les maths dans le deuxième sous-groupe. Donc déjà on va compter. Il y en a 10 qui aiment que les maths, il y en a 3 qui aiment que la physique. Donc je vais en prendre 2 parmi les 10 qui aiment que les maths et 2 parmi les 3 qui n'aiment que la physique. Donc ça fait 2 parmi 10. Le nombre total de possibilités c'est 2 parmi 10 x 2 parmi 3. Donc là je fais le calcul. Typiquement voilà, ce que je disais c'est que 2 parmi 10 ça se fait 2 têtes quoi. Parce qu'en fait ça fait 10 x 9 sur 2. Donc franchement ça se fait 2 têtes. Et 2 parmi 3 ça fait 3. Donc au total ça nous fait 135 possibilités. Donc voilà comment on peut allier combinaison et intersection.

Combinaison et intersection

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