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Récurrence

Dans cette première vidéo, le professeur explique l'inégalité de Bernoulli, qui stipule que pour tout réel positif A et tout nombre entier N, on a l'inégalité suivante : 1 + A^N >= 1 + NA. Il explique que cette inégalité est étudiée dans le chapitre de la récurrence car la démonstration par récurrence est simple. Il mentionne également que certains étudiants ont du mal à comprendre cette formule et propose une explication graphique. En utilisant des fonctions exponentielles et affines, il visualise graphiquement comment l'exponentielle monte plus rapidement que l'affine, ce qui justifie l'inégalité. Il montre ensuite une simulation où il peut manipuler les paramètres pour illustrer le comportement des fonctions. Il remarque que pour certains réels entre 0 et 1, l'affine est au-dessus de l'exponentielle, ce qui peut sembler contredire l'inégalité. Cependant, il souligne que pour les entiers, l'inégalité est vérifiée et que cela a une signification pratique. Il conclut en encourageant les spectateurs à poser des questions et à utiliser la simulation pour mieux comprendre l'inégalité de Bernoulli.

Pour cette première vidéo, j'ai envie de vous montrer graphiquement à quoi correspond cette inégalité de Bernoulli, qu'on a écrite ici, et qui vous dit qu'en fait, pour toute A strictement positive, donc tout réel A, et pour toute antinaturel N, on a l'inégalité suivante qui est 1 plus A puissance N, plus grand ou égal que 1 plus N A. On l'étudie dans le chapitre de la récurrence parce que la démonstration de la récurrence est très simple quand on utilise le principe de récurrence. L'idée, c'est que je voulais vous donner une intuition graphique de cette formule, qui peut être apprise par cœur, il n'y a pas de problème, mais souvent, encore une fois j'ai remarqué avec mes propres étudiants, peut être un peu mal comprise ou c'est pas toujours évident de savoir un peu à quoi ça réfère. Si on analyse les deux différents éléments, donc il y a la partie de gauche en puissance N, la partie de droite en N fois A. Voyons-les un peu comme des fonctions. Je vais remplacer un peu, pour un petit temps, le N par X dans ma tête, et me rendre compte qu'en fait j'ai du 1 plus A. Si je fixe A, A est une constante. J'ai 1 plus A puissance X, à gauche, et ça, ça me rappelle en premier à l'exponential, et 1 plus A fois X, à droite. Ça, ça me rappelle la troisième, les fonctions affines. Et donc l'idée, je vais me dire, peut-être que ça traduit juste le fait qu'une fonction exponentielle en moyenne monte beaucoup plus vite qu'une fonction affine, et donc est plus grande. Et c'est exactement ça. Donc c'est juste cette idée qui est derrière cette inégalité. Je vais vous le montrer sur une petite simulation. Enfin, un tracé, quoi. Ici, je peux bouger un petit peu plusieurs paramètres. Donc vous voyez que j'ai introduit deux fonctions, la fonction F en bleu qui est 1 plus A puissance X, et la fonction G en vert qui est 1 plus A X. Mon petit paramètre A, je peux le changer. J'ai mis des valeurs possibles entre 0 et 5, bon il n'y a pas de problème. Si vous déplacez comme ça la valeur de A, vous voyez que les fonctions évoluent. Ce sont différentes fonctions, donc quand A vaut 2 par exemple, ma fonction G de X est 1 plus 3 X, vous voyez qu'elle est une pente 3, alors que donc ma fonction puissance, ça sera 1 plus 2, 3 puissance X. 3 puissance X, ce n'est pas très loin de la vraie exponentielle. E puissance X, rappelez-vous, le E c'est 2,718 quelque chose. Donc c'est une 2,7 puissance X. F de X, c'est un genre d'exponentielle un petit peu décalé, c'est un 3 au lieu d'un 2,7 si vous voulez. Et aussi je change un petit peu, je peux afficher différents duos, différentes paires de fonctions F et G selon la valeur de A. C'est vrai que ça veut dire, dans les linearités de Bernoulli, avoir plusieurs valeurs de A, c'est vrai pour toute A positive, ça veut dire pour toute paire de fonctions. Mais alors si on s'approche un petit peu de certaines valeurs ici, on commencera à le voir mieux pour A égal 3 par exemple. Si je viens zoomer un petit peu sur ce qu'il se passe ici, plus proche, entre 0 et 1. Je suis embêté parce que moi si là je commençais à partir sur des fonctions, c'est peut-être pour me dire, la fonction F sera toujours au-dessus de la fonction verte. Et malheureusement entre 0 et 1, ça semble assez systématique, la fonction verte est au-dessus. Parce que vous savez l'exponentielle, c'est vrai qu'elle monte doucement au début, et là hop, elle se fait dépasser par la fonction affine et après elle démarre et elle ne se peut plus jamais dépasser. Est-ce que c'est un problème ? Ça veut juste dire que c'est pas vrai pour toute X et qu'entre 0 et 1 ça a l'air faux de dire que F est au-dessus de G. Mais en fait nous on s'en fiche de ça ici, nous ce qui nous intéresse c'est la suite. Donc laissez-moi vous afficher différents points. Je vais vous afficher les points de la suite définie de F à partir de G. Donc c'est assez simple, comme ça. Donc là le problème avec F c'est qu'elle est tellement intense en termes de montée pour voir juste le troisième il faut que je l'écale très très fort. Mais vous avez compris l'idée, et j'applique aussi pour la fonction affine. Donc voilà mes points. Je vais diminuer un petit peu la valeur de A pour avoir des fonctions un peu plus visibles sur l'écran. Et voilà ce que j'obtiens. J'obtiens qu'en fait, bon, assez vite, disons dès le point 2 en fait, la fonction bleue, la suite bleue, parce que maintenant les points représentent uniquement les coordonnées entières. Les points représentent vraiment les points de ma suite. La suite bleue est au-dessus de la suite verte. On avait un problème pour les réels entre 0 et 1 et on remarque en fait que, vu qu'on parle de suite, on s'en fiche de tous les réels entre 0 et 1. On peut se focus uniquement sur les entiers. Et il semble que pour ces deux entiers là, 0 et 1, les deux fonctions soient égales. C'est pas très compliqué à vérifier, il suffit de revenir à l'équation qui est ici. Vous remplacez n égale 0, ça fait 1 plus grand égal à 1. Vous remplacez par n égale 1, ça fait 1 plus A plus grand égal à 1. Ah, 1 plus NA. Donc ça fait 1 plus A plus grand égal à 1 plus NA. Donc ça c'est plutôt pratique, on comprend ce que ça veut dire. C'est pas encore une démonstration, ça sera la vidéo suivante. Je voulais introduire ça histoire que ça ait un peu plus de punch pour vous, que ça ait plus de vie. En gros, ça se voit. C'est une inégalité qui est pratique, qui peut aider à faire des démonstrations. Mais surtout, ça se base sur une réalité de fonction que vous connaissez avec votre point d'œuvre. J'espère que ça vous a aidé à comprendre un peu mieux d'où vient cette inégalité. N'hésitez pas toujours à poser des questions. Allez voir dans la FAQ si quelqu'un a déjà pensé à des questions avant vous. Il a déjà répondu. Vous pouvez aussi utiliser cette petite simulation, le lien sera partagé. Juste cliquez, allez jouer avec et voir si ça vous aide un peu à comprendre. Et je vous dis à la prochaine !

Inégalité de Bernoulli : visuel

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