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Récurrence

Ce cours est une transcription d'une vidéo expliquant la démonstration d'une récurrence mathématique. Dans cette démonstration, on utilise le fait que le sinus de 0 fois tout réel est égal à 0, et que le produit de 0 par la valeur absolue de sinus x est également égal à 0. On vérifie également l'initialisation de la récurrence. Ensuite, on aborde la notion d'hérédité et on utilise une formule mathématique appelée "sin a plus b" pour faire apparaître sin nx. On applique ensuite l'inégalité triangulaire pour majorer les termes et on utilise le fait que les cosinus sont toujours plus petits que 1. On conclut que la relation est démontrée par récurrence. L'accent est mis sur la capacité à poser les bonnes questions et à utiliser les formules mathématiques pour résoudre les problèmes.

On va faire une récurrence, on va démontrer déjà, on repasse parti pour une récurrence, n égale 0. Contre tentative naturelle n, donc facile, on a sinus de 0 fois x, on a x à un réel quelconque, en valeur absolue, valeur absolue de sinus 0, égale 0, très bien. Et 0 fois la valeur absolue de sinus x, qui est égale à 0. Ok pour l'initialisation, on a bien. Comme 0 est inférieur à 0, c'est ok. C'est que, on a calculé le côté gauche, on a calculé le côté droit, on voit qu'il vérifie bien la relation, on est bon. Il faut le faire à chaque fois, même si c'est ridicule et que ça fait 0 sur le plus petit 0, c'est important. Hérédité. Alors là, il va falloir... Si vous ne connaissez pas la formule que je vais vous donner, vous ne pouvez pas faire l'exo. Donc je vais vous la donner, normalement on la revend en terminale, certains la vendent en première, ça dépend des profs. Donc si vous ne l'avez pas vue, écoutez, c'est une annonce, la terminale. Si vous l'avez déjà vue, c'était une application. On a. On veut. La difficulté, c'est que cette fois-ci, en gros, ce n'est pas un exercice trop évident. Et la difficulté, c'est qu'il y a une gestion, c'est un truc qu'on ne fait pas trop encore en terminale, qu'on fait beaucoup plus dans le supérieur, il y avait une gestion d'inégalité, et en général, vous n'aimez pas les inégalités. Moi, au lycée, je n'aimais pas ça. Je préfère les exos clairs et précis, où c'était égal et je n'aimais pas trop les inégalités. Parce que c'était toujours des galères ou des raisonnements que je ne connaissais pas. Il y a des petits trucs à connaître qui sont quand même bien, parce que ça tombe des fois des inégalités, donc c'est bien de les connaître. Ce n'est pas du tout on a, là c'est on veut. Donc ça encore, il faut assez là, HR. Lui en plus ça, on a. Bon, c'est ça. Pour moi, dans ma tête, c'est comme ça que ça marche. N plus 1 fois sin x. C'est la même chose qu'au-dessus, mais il y a un sin x en valeur absolue en plus dans le n plus 1. Alors, très bien. On va écrire sin. Là, en fait, j'avoue que moi, ça vient tout seul par habitude. Donc, je vais essayer de le faire. À chaque fois, j'essaie de ne pas trop faire le matheux, c'est-à-dire qu'il vous dit, on introduit une fonction auxiliaire et ça marche. C'est tout ce truc assez frustrant des fois. Je vais essayer de le faire pour vous donner l'intuition de ce qu'il faut faire, mais c'est vrai qu'il y a l'expérience qui parle et c'est pas toujours évident de vous faire comprendre pourquoi, d'où ça vient. Là, disons qu'il faut à un moment se dire, qu'est-ce que je peux faire quand j'ai ce truc-là ? Qu'est-ce que je peux faire, sachant que j'ai pour but, dans le coin de ma tête, de lier ça à sin nx. Je peux l'écrire ça, mon but sous-jacent, c'est faire apparaître... C'est ça qui va motiver mes choix d'action au sujet. Faire apparaître sin nx. C'est ça qui va motiver mes choix d'action et d'utilisation de formule. Donc il y a deux moteurs. Il y a un, je sais que je vais faire apparaître sin nx, et deux, il faut bien faire quelque chose avec ça, il faut bien écrire quelque chose. Donc qu'est-ce que je peux écrire ? n plus 1 x, je sais que d'habitude on est plutôt... on se encourage plutôt à factoriser qu'à développer, mais c'est sin nx plus x. Et là, qu'est-ce qui se passe ? J'ai un début, j'ai nx. C'est pas mal, mais j'ai nx plus quelque chose. Là, il faut absolument qu'il y ait un déclencheur direct dans votre tête, c'est-à-dire, je reconnais la formule, sin nx a plus b. Alors, vous ne la connaissez pas, vous ne l'avez pas. Si vous la connaissez, là, il faut que ça déclenche. Parce que quand je dis qu'il y a des mots-clés, des choses qu'il faut... Ce qu'il faut développer, je dis, je raconte souvent ça, c'est qu'il faut développer cette espèce de tilt. Vous savez quand votre cerveau fait genre ting, la petite ampoule qui apparaît à côté là, ting, je vois ce truc-là, ça déclenche dans mon cerveau un réflexe de, ok, c'est ça qui se tente. Et c'est peut-être pas la bonne méthode. C'est peut-être pas le bon truc à faire, peut-être que ça ne marchera pas. Mais en tout cas, il faut le tester. Il faut que quand on voit ça, on l'essaye. Si ça se trouve, ce ne sera pas ça la réponse. Mais je pense que... Moi, imaginons, je pense aussi un peu comme dans le supérieur, en mode call. Vous êtes à l'oral, comment va vous juger un examinateur ? Vous voyez nx plus x, vous lancez la formule sin a plus b, c'est bon comme démarche. C'est une démarche scientifique. Ce n'est pas absurde, ça, mathématicienne en tout cas. Ce n'est pas absurde de faire ça, donc c'est ce qu'il faut faire. Essayons-là, peut-être que ça n'aboutira pas, mais au moins, vous avez fait un truc qui a du sens. Dans le délire de faire montrer qu'on sait penser, à l'oral, en tout cas à l'écrit ou à l'écrit également, c'est ça qu'il faut faire. Or, on reconnaît, on tilte sur sin a plus b. Alors ça là, il faut la connaître par cœur. Une manière simple de la connaître, un peu bébête, c'est de se dire que le sinus, il est optimiste et tolérant. Le cosinus est pessimiste et raciste. Donc en gros, sinus, c'est un peu débile, c'est sinus a cos b, donc ça se mélange. C'est-à-dire qu'il mélange sinus et cos dans ses termes. Et quand il y a un plus, il reste plus. Il est optimiste et garde le même signe que le truc de base. C'est juste pour confirmer qu'il y a un plus ici et un plus ici. Donc là, ça fait plus sinus b cos a. Le truc du cos qui est, je ne sais plus quoi, raciste et négatif, c'est que vous avez cos a plus b, qui vaut cos a cos b, donc déjà on reste entre nous. Et puis négatif, où il y a un plus, il met un moins. Il n'est pas content. Moins sinus a sin b si vous voulez. Je vous les mets là, ça c'est à savoir par coeur. Vous pouvez bien les connaître. Donc j'applique. J'applique ça pour sinus a plus b. C'est égal à sinus nx, je suis content, cos x, ça si vous voulez ça joue mon rôle du a, ça ça joue mon rôle du b. Sinus nx, cos x, on ne voit rien, je recommence. Sinus nx, cos x, plus sinus x, cos nx. Je mets tout ça en valeur absolue, parce que c'est ça qu'on veut quand même. Je mets tout ça en valeur absolue, valeur absolue, valeur absolue. J'avais oublié de les mettre, je les remets maintenant. Qu'est-ce que je veux ? Je veux montrer que c'est plus petit que ce machin là. Moi qu'est-ce que je connais ? Je connais sinus nx en valeur absolue. Sinus nx en valeur absolue, je sais que c'est plus petit qu'un truc là. Bon bah c'est parti. Sinus nx est donc plus petit, il faut que je réussisse à sortir le sinus nx de cette horrible, longue valeur absolue. Qu'est-ce que je connais qui implique des valeurs absolues ? En haut, des valeurs absolues, plus des inégalités. Si je me pose ça comme question dans ma tête, genre j'ai cette idée sur ce qu'il faut faire, ça c'est un truc qu'on a vu en seconde, qui s'appelle l'inégalité triangulaire. Qui dit que a plus b, si vous voulez, c'est plus petit que a plus b. Alors pour des nombres positifs, c'est égal. 3 plus 7, ça fait 10, c'est plus petit que 3 plus 7. Pas de problème. C'est juste qu'en b négatif par exemple, que c'est intéressant. Ça marche pour tout réel a et b. Donc a et b, ça va être, je sais pas, 10 et moins 3, ça fait 10 moins 3, 7. En effet, c'est plus petit que 10 valeur absolue plus 3 valeur absolue, ça fait 13. Donc là, vous tiltez là-dessus. C'est ça que je vais faire, et hop, on applique. Inégalité triangulaire, c'est plus petit que sin x cos x plus sin x cos x. Mais après, vous voyez que la difficulté, c'est ça. C'est qu'il faut être au taquet sur chacune des formules déjà rencontrées. Il faut les avoir accumulées, il faut les avoir en tête. C'est pas simple, quoi. C'est ça, être un bon élève complet de maths. Maths sup ou maths terminale, ce que vous voulez. Être un bon élève, c'est ça. C'est aussi connaître bien ses formules. C'est pas juste un gêne de « je suis bien né en maths », c'est faux. C'est aussi bien connaître toutes ses formules. Et savoir les appeler à sa rescousse, en détectant des trucs. Mon but, moi, c'est que vous posez des questions bébêtes, comme ça. Qu'est-ce qui peut bien impliquer des valeurs absolues, et ça ? Savoir vous poser la bonne question, ça va normalement, si vous connaissez un peu votre cours, déclencher la bonne réponse. Vous avez ce truc-là, et vous pouvez dire ensuite valeur absolue de a, b. C'est valeur absolue de a, valeur absolue de b. Ça, on connaît. Ça, je vous le mets en noir ici. Voilà. Je l'utilise ici. C'est donc plus ou moins égal. C'est égal, mais je vais mettre un plus ou moins égal que sinus nx cos x plus sinus x cos nx. Et là, on arrive à la fin de l'exercice. Je ne sais pas si vous vous en rendez compte encore, mais on y est presque. Par hypothèse de récurrence. Ça, c'est plus petit que n sinus x. Comment je gère ce cos x ? Il me saoule, ce cos x. Parce qu'il est là, et moi, je n'ai pas un cos x. Je ne veux qu'il n'y en ait pas. On se rappelle un truc très, très... C'est basique, cos x, c'est plus petit qu'il y en a un. Toujours. C'est un sin, un cos, c'est plus petit qu'il y en a un. Ils sont compris entre moins 1 et 1, donc la valeur absolue est plus petite qu'un, il n'y a pas de problème. Je vais remplacer ça par 1, et je vais faire la même chose à côté. Qu'est-ce que je veux, moi ? À la fin, je veux n plus 1 sin x. Là, des sin x en valeur absolue, j'en ai n. J'en veux 1 de plus. Ça tombe bien, j'en ai 1 de plus ici. On a 1 de plus ici, il y a ce truc qui m'embête, c'est un cos, comme à côté. Comme c'est un cos, même si c'est un cos nx très moche, tout ce qu'on veut, ça reste un cos. Cos de quelque chose, cos de quoi que ce soit, c'est toujours plus petit que 1. Je vais pouvoir dire plus, je garde le sin x, fois 1, c'est fini. C'est parfait. On a donc plus ou égal à n plus 1 sin x. On a n ici, j'en ai un autre. C'est bon, j'ai fini de démontrer mon aridité. Conclusion, c'est démontré par récurrence. À chaque étape, vous voyez qu'il y a une logique qui s'enchaîne. C'est pas simple, parce qu'il faut maîtriser sa formule de sin a plus b, il faut maîtriser l'usage de l'inégalité triangulaire et savoir majorer, donc là ce qu'on a fait c'est des majorations, majorer les termes sinus, cosinus sans hésitation, sans honte. C'est pas un réflexe qui est toujours là quand vous êtes au lycée, j'en suis conscient, mais c'est un truc qui va être assez courant dans les exercices en terminale et temps supérieur aussi. Faut pas hésiter. Le but pour y arriver, faut pas se dire que c'est trop dur, c'est bien savoir déclencher les bonnes questions. Aller aider son cerveau, être un génie en maths, c'est pas avoir un cerveau qui est un ordinateur qui vous donne les réponses. Être un génie en maths, être bon en maths, c'est avoir assez d'infos et de fondations là-dedans et assez de mécanismes de recherche pour savoir lesquels sont bons et savoir vite lesquels sont bons, donc poser les bonnes questions.

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