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Limites de Suites

Dans ce cours, nous abordons la définition mathématique d'une limite et son utilité pour ceux qui poursuivent l'étude des mathématiques. Nous commençons par définir une suite U_n égale à 3n plus 2. Nous voulons montrer que pour tout réel A supérieur à 0, il existe un plus petit entier naturel n_0 tel que si n est supérieur à n_0, alors U_n est supérieur à A.

En d'autres termes, nous voulons montrer que quel que soit le seuil A que nous fixons, même s'il est très grand, il existe un rang n_0 à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à ce seuil. Cette définition correspond à la limite lorsque n tend vers l'infini.

Pour résoudre cette équation, nous avons besoin de trouver un entier n_0 à partir duquel cette inégalité est toujours vraie. En résolvant l'équation 3n plus 2 supérieur à A, nous obtenons n supérieur à (A moins 2) divisé par 3.

Cependant, nous devons faire attention car n est un entier naturel. Pour garantir que n_0 est également un entier, nous utilisons la partie entière de (A moins 2) divisé par 3 plus 1.

Cette partie entière correspond à B, un réel qui n'est pas nécessairement un entier. Cependant, nous pouvons prendre la partie entière de B plus 1 pour obtenir n_0, qui est bien un entier.

Ainsi, le plus petit entier n_0 tel que n est supérieur à n_0 et que U_n est supérieur à A peut être écrit comme la partie entière de (A moins 2) divisé par 3 plus 1.

Cette définition correspond à la limite lorsque n tend vers l'infini, où quel que soit le seuil que nous fixons, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont au-dessus de ce seuil.

Cette méthode montre que même si nous fixons un seuil très élevé, nous trouverons toujours un rang à partir duquel les termes de la suite dépassent ce seuil. Cela illustre la définition formelle de la limite en mathématiques.

Bien que les définitions formelles puissent sembler complexes au début, elles deviennent plus faciles à comprendre avec la pratique. Si vous avez des questions, consultez la FAQ pour plus d'informations.

Cette fois, on va revenir à la définition même de l'une limite, ce que les élèves n'aiment pas trop, mais pour tous ceux qui continuent les maths l'année prochaine, c'est hyper important. Donc vous vous effleurez un peu le concept en terminale, voire même un peu plus, et après c'est quelque chose que vous maîtriserez l'année prochaine pour ceux qui continuent. On va essayer de voir avec des exemples comment ne pas avoir peur de la définition formelle d'une limite avec les epsilon. Alors, on nous définit une suite Un égale 3n plus 2. Et là, ce qu'on veut montrer, c'est que... Alors je suis énoncé, pour tout réel A directement supérieur à 0, je veux déterminer le plus petit entier naturel n0, tel que si n supérieur à n0, ça veut dire que Un supérieur à A. Maintenant, il faut essayer de le traduire ça en français. C'était la définition mathématique. Et en fait, sous-entendu, je prends un réel A, mais qui peut être aussi grand que je veux. Peu importe s'il vaut un million, un milliard, et qu'il est très très grand. En fait, je veux montrer qu'à partir d'un certain rang, n0, la suite est au-dessus de cette barrière. Un million, un milliard, etc. Donc si, quelle que soit la hauteur que je me fixe, aussi haute que je veux, à partir du moment où je dépasse cette hauteur-là, ça c'est la définition même d'une limite en plus d'infini vers plus d'infini. C'est ça qu'on va essayer de montrer. Donc, A supérieur à 0, c'est mon hypothèse. Je vais essayer de résoudre Un supérieur à A. Il faut que je trouve un entier n0 à partir duquel c'est toujours vrai. Très bien, je résous mon équation. 3n plus 2 supérieur à A, donc 3n supérieur à moins 2. Et n supérieur à A moins 2 sur 3. Alors là, il faut faire attention, puisque n est un entier naturel. Je ne veux pas dire que n0, ça vaut ce truc-là. Ça, ce n'est pas forcément un entier. Là, je l'appelle B, ce réel, qui a priori n'est pas un entier. A n'est pas forcément un entier. Je vous ai montré sur un petit dessin que ce n'est pas très compliqué. B est entouré par sa partie entière et sa partie entière plus 1. Je veux juste montrer l'existence d'un entier n0. Pour ne pas prendre de riche, je vais prendre partie entière de B plus 1. Ça, c'est bien un entier. Si n est supérieur à partie entière de B plus 1, il sera aussi supérieur à B, donc c'est bon. Le plus petit entier n0, tel que n supérieur à n0, tel que si n supérieur à n0 implique un supérieur à A, cet entier-là, je vais l'écrire comme étant partie entière de A moins 2 sur 3 plus 1. N'oubliez pas ces histoires de partie entière parce que si je prends juste A moins 2 sur 3, ce n'est pas juste parce que ce n'est pas forcément un entier. Ça, c'est bon. Là, on reconnaît la définition de la limite vers plus infini, comme je vous le disais. Je vous ai fait un petit dessin pour qu'on comprenne un peu. La définition de Un tend vers plus infini, c'est que quelle que soit la hauteur que je me fixe, il existe un entier, un rang à partir duquel tous les éléments de la suite seront au-dessus de cette barrière. Je vous ai fait un exemple. Imaginons que je fixe une barrière que j'appelle A1. Je vous ai fait un exemple de suite qui a l'air de tendre vers plus infini. Là, on voit qu'à partir de ce rang-là, la suite est supérieure à A1 tout le temps. Si je fixe A2, à partir de ce rang-là, la suite est au-dessus de A2, et ainsi de suite. Si A3 est là, à partir du rang que j'appelais N03, la suite est au-dessus. Là, on voit bien avec cette suite que, même si je mets une barrière très haut, peut-être que mon rang sera élevé, mais je trouverai toujours un rang à partir duquel ça sera au-dessus. Donc ça, c'est la définition, ce qu'on appelle la définition formelle de la limite. Voilà pour cette méthode. Avec les définitions formelles, elles ne sont pas évidentes, il faut un peu s'habituer à ça, mais une fois qu'on a l'habitude de travailler avec, vous verrez que, finalement, ce n'est pas si compliqué. Si jamais vous avez des questions, comme d'habitude, n'hésitez pas à aller voir la FAQ.

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