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Forme indéterminée 2 : la quantité conjuguée
Dans ce cours, nous abordons les méthodes pour résoudre les fonctions rationnelles, qui sont des polynômes divisés par d'autres polynômes. La technique utilisée est similaire à celle utilisée pour les polynômes eux-mêmes, c'est-à-dire que nous devons factoriser par le terme de plus haut degré. Dans l'exemple donné, nous étudions la suite Vn = 4n² / (n + 1). Nous identifions que le terme de plus haut degré est de degré 2, donc nous factorisons par n². Au dénominateur, le degré est de 1, donc nous factorisons par n. Les n se simplifient partiellement, et nous obtenons 4n au numérateur divisé par (1 + 1/n), qui tend vers 1. Ainsi, nous supprimons l'indétermination et concluons que Vn tend vers l'infini positif.
En examinant les différents cas possibles, nous constatons trois situations. Premièrement, si le degré de P est strictement supérieur au degré de Q, cela signifie que P l'emporte et que l'infini de Q est moins puissant. Par conséquent, Qn tend vers l'infini positif. Deuxièmement, si le degré de Q est strictement supérieur au degré de P, c'est Q qui l'emporte et la limite de Un sera égale à 0. Enfin, si le degré de Q est égal au degré de P, alors les deux sont de même importance et la limite sera le rapport des coefficients dominants Q/P.
Prenons l'exemple de la suite Un = (3n² + 2n + 1) / (4n² + n + 4). En factorisant par le terme de plus haut degré n², nous simplifions l'expression et obtenons (3 + 2n + 1/n²) / (4 + 1/n + 4/n²). Finalement, cette expression tend vers 3/4, qui est le rapport des coefficients dominants.
Il est important de noter que ces trois cas sont systématiques et s'appliquent à toutes les fonctions rationnelles. C'est la méthode à suivre pour résoudre ces fonctions.
