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Limites de Suites

Nous avons abordé deux méthodes de gestion des limites : la méthode du terme dominant et la méthode de l'encadrement. La méthode du terme dominant consiste à comparer les termes dominants d'une fraction pour déterminer sa limite. On peut également factoriser la fraction par le terme dominant pour simplifier le calcul. La méthode de l'encadrement, quant à elle, consiste à encadrer les différentes parties de l'expression pour obtenir une limite finie. On peut alors appliquer le théorème des gendarmes si les encadrements sont convergents. Ces techniques sont notamment utiles lorsque l'on rencontre des puissances négatives, des sinus ou des cosinus, car on peut les encadrer facilement.

Pour ce deuxième exercice, ce que j'ai voulu faire, c'est un peu un florilège de différentes méthodes de gestion des limites. Il y a pas mal d'exercices qui vont te ressembler, et honnêtement ça va être toujours les deux mêmes méthodes. Je vous montre déjà le bilan ici que j'ai mis, mais il va y avoir la méthode du terme dominant et la méthode de l'encadrement. Donc en gros, terme dominant c'est dès que vous avez une fraction, on va comparer en gros les termes dominants en haut et en bas. C'est-à-dire au dénominateur et au numérateur. Je parle un peu comme un enfant là quand je dis en haut et en bas, mais vous voyez l'idée. Donc on va comparer ça. L'idéal, et on pourra le faire dans le supérieur mais pas encore maintenant, on ne vous l'autorise pas aujourd'hui, c'est de dire bon, 3n-8 c'est nul, c'est tout petit par rapport à n², 5n²-1 c'est tout petit par rapport à n³ qui est beaucoup plus gros, donc on pourrait dire que ça c'est à peu près, quand n devient très grand, n² sur 2n³. Et donc c'est en sortie. C'est un peu l'idée générale, donc vous pouvez penser comme ça, regarder le terme dominant en haut, le terme dominant en bas, et avoir l'intuition de ce qui va se passer. Donc ça, c'est la méthode du terme dominant, et ce qu'on vous autorise à faire au lycée, c'est de factoriser en haut et en bas par le terme dominant. Et l'idée c'est quand vous faites cette factorisation par le terme dominant, vous pouvez conclure en haut parce que dans le cours vous avez le fait que ces suites là tendent vers 0, ce sont des suites très très classiques. Et pareil en bas. Donc ce qu'on peut dire c'est qu'en haut, cette parenthèse là tend vers 1, cette parenthèse tend vers 2, tout simplement parce que c'est 1 plus 0 moins 0 et 2 plus 0 moins 0. Or le machin qui est là, le n² sur n³, je peux le simplifier en 1 sur n. Et donc j'ai un 1 sur n fois quelque chose qui tend vers 1 demi, bah ça, ça tend vers 0. Voilà, ça c'est la méthode du terme dominant. Alors là c'est vraiment le truc direct. Dès que vous avez du moins 1 puissance n avec une question sur les limites de suite et du cosinus, tout de suite vous encadrez. Le moins 1 puissance n est compris entre le moins 1 et 1, le cosinus n est aussi compris entre le moins 1 et 1, et de même pour le sinus. Donc ça c'est la technique qui tue. Dès que vous encadrez, vous répondez ensuite par un théorème d'encadrement. Vous avez en gros, quel que soit n. Alors il se trouve que cette partie là ne va pas trop nous servir, on s'en fiche. Ça, ça va tendre vers plus l'infini, parce que c'est racine de n quand n tend vers plus l'infini. Donc par théorème de comparaison, ça va pousser ce machin-là vers plus l'infini également. Ça tend aussi vers plus l'infini, théorème de comparaison. Ça s'appelle Vn, ce truc-là. Vn tend vers plus l'infini également. Donc très simple. Dès que vous avez la comparaison qui apparaît, paf, vous pouvez y aller en 2 secondes. Quand tu sais que c'est la même chose, on va se dire Wn égale 25 plus cosinusn sur n. On peut encadrer cosinusn sur n par moins 1 ou par 1. Donc cosinusn sur n est compris entre moins 1 sur n et 1 sur n. Mais là c'est vraiment sans réflexion. Dès que vous voyez moins 1 plus 1 sur n et cosinusn, boum, direct, on compare. C'est-à-dire qu'on encadre par moins 1 et 1. Donc soit vous appliquez le théorème de comparaison si ça part en plus l'infini. Ici on a quelque chose qui tend vers 25. Quelque chose qui tend vers 25, ce sont deux limites finies. Donc le nom du théorème dans ce cas-là, c'est plus le théorème de comparaison. Quand c'est une limite finie et que c'est encadré des deux côtés, on appelle ça le théorème des gendarmes. Donc on appelle ça le théorème des gendarmes par le théorème des gendarmes, comme les deux suites encadrantes tendent vers 25. Notre suite, il me semble que ça s'appelle Wn, tend vers 25 également par le théorème des gendarmes. Donc très simple, ça coule tout de suite. Ça coule d'autres sources, il ne faut surtout pas hésiter. Dès que vous voyez un moins 1 puissance n, un sinus, un cosinus, bam, on encadre. Petite idée d'éterminer la limite, qu'est-ce qu'on a ici ? Je vais la faire juste à l'oral. An, c'est n² fois 2 puissance n. n² tend vers plus l'infini, 2 puissance n tend vers plus l'infini. Le produit de suite qui tend vers plus l'infini, ça tend encore plus vers plus l'infini. Voilà. Petite 2, c'est intéressant. On a Bn qui est défini par 3 puissance n moins 4 puissance n, il va falloir essayer de faire la comparaison des deux. Bn égale 3 puissance n moins 4 puissance n. Là aussi vous avez des comparaisons de puissance, alors ce n'est pas des n² et des n³, mais c'est un peu une comparaison de puissance dans tous les cas. Tout ce qu'il faut faire, c'est le réflexe de la factorisation par le terme dominant. On va factoriser par le terme dominant qui est 4 puissance n. Le terme dominant, ça fait que là j'ai une suite géométrique de raison ¾ plus petite que 1. Donc cet objet-là tend vers 0. Donc il me reste 4 puissance n fois quelque chose qui tend vers moins 1. C'est-à-dire que tout ça, ça tend donc quand n tend vers plus l'infini vers moins 1. Donc j'ai 4 puissance n qui tend vers plus l'infini fois moins 1, je peux conclure. Plus l'infini pour un nombre négatif, tout ça, ça tend vers moins l'infini.

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