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Théorèmes de Convergence

Le théorème d'encadrement, aussi appelé théorème des gendarmes, permet de montrer qu'une suite converge vers un réel fini en la comparant à deux autres suites qui convergent vers la même limite. Si une suite UN est "prise en sandwich" entre deux autres suites VN et WN, c'est-à-dire que UN est plus grande que VN et plus petite que WN, et que VN et WN convergent tous les deux vers la même limite L, alors UN converge également vers L. Ce théorème permet d'éviter les définitions formelles d'ε et d'A et offre une méthode pratique pour prouver des résultats sur les suites.

Pour illustrer ce théorème, on peut prendre l'exemple de la suite sinus n sur n. Cette suite est difficile à gérer, mais on peut l'encadrer entre les suites 1 sur n et -1 sur n, qui convergent toutes les deux vers 0. En appliquant le théorème des gendarmes, on peut conclure que la suite sinus n sur n converge également vers 0.

Il faut cependant noter que toutes les situations ne sont pas aussi simples et il peut arriver qu'on ait moins d'informations pour prouver la convergence d'une suite. Néanmoins, une propriété importante à retenir est que si deux suites un et vn sont ordonnées, c'est-à-dire que un est toujours plus petit que vn, et que ces deux suites convergent, alors leurs limites seront également ordonnées dans le même sens.

En résumé, le théorème d'encadrement, ou théorème des gendarmes, est une méthode pratique pour prouver la convergence d'une suite vers un réel fini en la comparant à deux autres suites convergentes. Il permet d'éviter les définitions formelles et offre des résultats intuitifs.

On avait le théorème de comparaison, qui vous permettait de démontrer qu'une suite VN allait tendre vers plus l'infini, uniquement en la comparant à une suite UN plus petite, et potentiellement avec une expression plus simple. L'équivalent pour une limite finie va s'appeler le théorème d'encadrement, ou théorème des gendarmes, et il va vous permettre de montrer qu'une suite va tendre, cette fois-ci, vers un réel fini. Bon, bah en gros, quand vous avez UN, VN, WN, imaginons que UN est prise en sandwich un peu entre VN et WN, qu'elle est tout le temps genre comprise entre les deux, c'est-à-dire qu'UN est plus grande que VN, plus petite que WN, si, en même temps, on a d'un côté VN et de l'autre côté WN qui viennent converger vers la même limite L, alors UN, qui est coincée au milieu, va elle aussi converger vers L. C'est assez intuitif, la combinaison de ce théorème pour une limite finie et le théorème de comparaison pour une limite infinie vous permet d'accéder à pas mal de résultats sur les suites, sans jamais vous embêter, encore une fois, avec les définitions formelles d'ε et d'A. Donc c'est très pratique, et maintenant on va essayer de l'illustrer avec un petit exemple quand même. Voilà, ici j'ai tracé la fonction sinx sur x, qui est une espèce de sinus écrasé qui a l'air de converger vers 0. Si je trace la suite, donc sinn sur n, je sens donc que ces points se rapprochent de plus en plus de 0 et qu'on va avoir une suite convergente. Le problème c'est que sinn sur n, c'est très laid, c'est un peu compliqué à gérer et donc je ne vais pas pouvoir le faire comme ça. C'est là que va intervenir le terrain des gendarmes. Sinn n, sinn x en général, c'est très simple à encadrer, c'est compris entre –1 et 1. Par exemple, sinπ sur 2 ça vaut 1, sin3π sur 2 ça vaut –1. Qu'est-ce qu'on va écrire ? Si on sait que sinx c'est compris entre –1 et 1, sinx sur x c'est compris entre –1 sur x et 1 sur x. C'est pour ça que si je trace les deux fonctions, je vois que ça l'encadre parfaitement. Si je fais de même avec les suites maintenant, je vois donc que ma suite sinus n sur n est parfaitement encadrée par la suite des 1 sur n et la suite des –1 sur n. Or la suite des 1 sur n et la suite des –1 sur n c'est très basique, c'est dans le cours, on sait que ça converge vers 0. En appliquant le terrain des gendarmes à ce genre de cas, je peux donc conclure que comme la suite rouge, sin n sur n, est encadrée par deux suites pour lesquelles je connais la limite commune qui est 0, alors ma suite rouge, qui est moche et un peu dure à analyser en soi, je vais quand même pouvoir démontrer et affirmer qu'elle tend vers 0 également. Le truc en maths c'est que malheureusement vous n'avez pas tout le temps des jolies situations comme ça, avec un super terrain des gendarmes, un bel encadrement et tout qui marche bien. Des fois en fait on n'a pas grand chose, on a moins d'infos et on se retrouve à pouvoir dire moins de choses. Mais bon, néanmoins il y a quand même des trucs que vous pouvez dire. Donc un résultat super intuitif, je veux dire si vous êtes intuitif vous allez me dire oui d'accord merci, mais quand même il faut l'apprendre et savoir que c'est une propriété du cours, c'est que si vous avez deux suites, un et vn, et elles sont ordonnées, c'est à dire qu'on sait que un est toujours plus petit que vn, si ces deux suites convergent, on peut dire que quand un est plus petit que vn, alors leurs limites seront rangées dans les mêmes ordres, la limite de vn sera plus petite que la limite de vn. C'est intuitif, mais bon c'est une propriété qu'il faut connaître. Voilà, j'espère que sur le terrain des gendarmes on est clair. Dites-moi, pareil, posez-moi des questions, venez discuter avec les autres étudiants dans la FAQ, et puis je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Théorème des gendarmes

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