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Théorèmes de Convergence

Le cours concerne les théorèmes de convergence en mathématiques. La première définition donnée est celle de la notion de suite majorée, c'est-à-dire lorsque celle-ci est bloquée par une certaine valeur et toutes les valeurs supérieures. Ensuite, la notion de suite minorée est expliquée, qui représente le fait que la suite ne peut pas descendre en dessous d'une certaine valeur. Lorsqu'une suite est à la fois majorée et minorée, on dit qu'elle est bornée. Ensuite, des exemples de suites bornées sont donnés, comme la suite 2-1/n qui ne dépasse jamais 2, la suite 1/n qui ne descendra jamais en dessous de 0, et la suite sin(n) qui oscille entre 1 et -1. 

Ensuite, le théorème de convergence monotone est présenté. Il établit que si une suite est croissante et majorée, alors elle converge. Cependant, le théorème ne fournit pas la valeur limite vers laquelle la suite converge. 

Il est également expliqué que la réciproque du théorème de convergence monotone est fausse, c'est-à-dire que ce n'est pas parce qu'une suite converge qu'elle est forcément croissante et majorée, ou décroissante et minorée. Des contre-exemples sont donnés, notamment la suite sin(n) qui converge vers 0 mais oscille de manière chaotique.

En conclusion, il est souligné l'importance de bien comprendre ces concepts et de ne pas se laisser piéger par des fausses idées.

Dernière vidéo sur ce sujet des théorèmes de convergence. Il faut commencer par des définitions qui sont assez intuitives. La première définition dit qu'on va dire qu'une suite est majorée quand on remarque que la suite, quand elle se balade, n'importe où, quel que soit ses termes, est toujours bloquée par une certaine valeur. C'est-à-dire qu'elle est bloquée par une certaine valeur, elle est bloquée par aussi toutes les valeurs d'au-dessus. C'est-à-dire que si un peut jamais dépasser genre 3, un ne peut jamais dépasser non plus 1024, si vous voulez. Je dis ça pour bien préciser que être majoré c'est un concept, mais un majorant c'est pas un concept unique. Il peut y avoir plusieurs majorants, plusieurs valeurs que UN n'arrive pas à dépasser. Il y en aura toujours une infinité en fait. Si UN ne peut pas dépasser 2, elle ne peut pas dépasser 3, 4, 5, etc. Donc dès que ça bloque, par le haut, on dit que UN est majoré. Si UN est bloqué par le bas, c'est-à-dire qu'UN ne peut jamais descendre en dessous d'une certaine valeur, petit m, on appelle UN minoré. Donc petit m sera un minorant de UN. Et de même, si UN ne peut pas descendre plus bas qu'un certain niveau, il y a donc un minorant ici, il y a aussi une infinité de minorants pour ces valeurs-là plus bas. Donc si UN est toujours plus grand ou égal à moins 1, en fait il y a d'autres minorants, parce que c'est vrai aussi que UN est plus grand ou égal à moins 334. Quand UN est à la fois majoré et minoré, on appelle UN borné. On dit qu'elle est donc un peu comprise entre deux bornes, si vous voulez. On peut illustrer ça avec un petit dessin, si vous voulez. Par exemple, la fonction ici, la suite ici en l'occurrence, j'ai tracé 2-1 sur n, on se rend compte que 2-1 sur n, elle monte, et elle est incapable de dépasser le point 2. Alors c'est intéressant, elle est incapable de le faire, elle va toujours être en dessous. Alors ça c'est un exemple. Vous pouvez me dire, bah ouais c'est cool, on a même l'impression que celle-là, elle va converger, ça sera ma transition avec le terrain d'après. Mais il y a d'autres manières d'être borné, donc voilà un exemple. Une autre manière d'être, pas borné en l'occurrence, d'être majoré. Il y a d'autres manières d'être majoré ou minoré, donc je vais vous montrer tout de suite. Voilà une suite L, cette fois-ci en 1 sur x, donc en 1 sur n. Elle est minorée, on voit qu'apparemment quand on dézoome, elle ne descendra jamais en dessous de 0. Mais elle a l'air aussi d'être minorée tout en étant décroissante, ce sont des cas très spécifiques. Autre cas d'une suite bornée, cette fois-ci je fais exprès de la prendre ni en train de décroître, ni en train de croître. La suite sinusane sur n, qu'on voit tout le temps dans ce chapitre, elle est bornée parce qu'elle ne dépassera jamais 1 et –1, mais pour autant elle bouge un peu comme elle veut, donc elle est bloquée entre 1 et –1, c'est vrai, mais elle fait plein de trucs entre les deux. Il n'y a pas de raison qu'elle soit spécialement croissante ou décroissante. Voilà des exemples de suites bornées. Avant de passer au théorème proprement dit, je voulais revenir sur cette idée d'être bornée. Encore une fois, un égale 2 – 1 sur n, celle qui était croissante tout à l'heure, est plus petite que 2, c'est vrai, mais elle est aussi plus petite que 4, et plus petite que 546. Beaucoup, beaucoup de majorampes aussi. Le théorème de convergence monotone lui-même. Le théorème de convergence monotone associe le fait d'être croissante au fait d'être majorée, et nous dit, si on ne fait que monter et qu'on est majoré, alors on converge. Et c'est un peu l'intuition qu'on vient de voir sur les dessins. C'est vrai qu'il y a moyen d'être bornée en faisant n'importe quoi, mais il y a des cas très jolis où c'est borné, c'est majoré si vous voulez, c'est majoré en montant, et on sent que quand c'est majoré en montant, en effet ça vient se coller à une valeur. Et donc c'est ça le théorème de convergence monotone, ça correspond à cette intuition-là. Donc encore une fois, faites attention. La manière de l'utiliser, c'est pas de dire... Le théorème de convergence monotone ne donne pas accès à une valeur de limite. Il vous dit juste, si vous savez montrer qu'elle est croissante, donc ici UN on s'est montré qu'elle est croissante, 1 sur N c'est décroissant, donc moins 1 sur N c'est croissant. Si vous savez qu'elle est majorée, par exemple ici je sais que UN est plus petite que 546, alors elle converge. Voilà. Mais ici je pourrais pas dire qu'UN converge vers 546. C'est faux. Pour savoir vers quoi elle converge, il faut que je fasse une étude, plus poussée, ici c'est pas très poussé, c'est 1 sur N tend vers 0 donc UN tend vers 2, mais donc la donnée du majorant ne me donne pas la donnée de la limite si vous voulez. C'est ça que je voulais préciser. Donc ça c'est la version convergente, simple, où il y a aussi la version où si ça décroît, donc comme on a vu tout à l'heure, quand c'est décroît et minoré ça converge, il y a aussi la version que j'ai mis en rose là, qui dit que tout de suite qu'elle est croissante mais cette fois-ci non majorée, elle va tendre vers plus infini. C'est assez intuitif, il n'y a rien pour la bloquer, donc elle monte tout le temps, elle va vers plus infini, voilà. De la même manière, tout de suite décroissante qui est non minorée ne va jamais être bloquée vers le bas, elle va donc tendre vers moins infini. Simple. Je veux conclure cette vidéo par, vraiment un truc important, le fait que la réciproque de Sterem est fausse. Donc j'essaie de vous donner beaucoup d'exemples graphiques pour que vous n'ayez pas de fausses idées sur tout ce qui peut se passer, parce qu'en gros ils vont jouer dans les exercices sur ces fausses idées que vous pouvez vous construire juste pour vous piéger. Donc j'essaie de vous les montrer. La réciproque du Sterem est fausse, c'est-à-dire que c'est pas parce qu'on converge qu'on est croissante majorée, ou décroissante minorée. On peut converger sans être aucune des deux, comme on a vu avec sinusine sur n. Sinusine sur n, on sait que ça tend vers 0, pourtant ça oscille de manière un peu moche. De la même manière, c'est pas parce qu'on est en train de tendre vers plus infini qu'on est nécessairement croissante, ou vers moins infini qu'on est nécessairement décroissante. Je vais vous montrer un petit contre-exemple, encore un, pour ces deux-là. Par exemple, je prends la suite, encore du sinus. Dès qu'on voit un contre-exemple, souvent on prend des sinus parce que ça fait des trucs moches, et ça permet justement de voir ces fausses idées. Si je prends le sinus que je vous illustre, vous allez voir ce que ça fait. Boum ! Ça vous fait la fonction, en violet, et toujours en rouge, les points de la suite. Vous voyez qu'elle monte, monte, monte, cette suite. La fonction, si je la suis, elle part. Là, j'ai pas assez de points. Ça part vers plus infini, c'est clair. Son c'est tiré par le n sur 2. Et le sinus, lui, il fait que osciller. Mais qu'est-ce qu'il se passe ? La fonction ici, ou la suite si vous voulez, la suite n'est pas croissante. La suite n'est pas croissante. Je vois qu'elle fait croissance, décroissance, croissance, décroissance. Il y a des cycles de croissance, décroissance. C'est juste que quand elle monte, elle monte plus que ce qu'elle descend après. Donc au final, elle va vers plus infini. Donc on ne peut pas dire que cette suite est croissante, et pourtant, elle tend vers plus infini. Voilà, c'est tout ce que j'avais à dire sur ce théorème. Je pense que là, j'ai bien souligné, surtout là, ce qui compte pour moi, c'est les cas que vous pouvez imaginer sans faire exprès. Vous dire, si ça tend vers plus infini, c'est que c'est croissant. Non, voilà contre-exemple. Comme ça, vous ne vous ferez pas piéger par les questions de cours ou les QC. Voilà, si vous avez des questions, venez voir dans la FAQ si des gens n'en ont pas déjà posé. Venez discuter avec les autres étudiants. Et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Suite majorée, minorée & Th de convergence monotone

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