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Théorèmes de Convergence

Le théorème de convergence monotone démontre que dans le cas d'une suite croissante non majorée, celle-ci tend vers l'infini. Pour démontrer cela, on commence par se donner un A positif strict et on va montrer qu'à partir d'un certain rang, la suite sera toujours au-dessus de A. Comme la suite UN n'est pas majorée, il existe donc un rang P à partir duquel UP sera plus grand que A. De plus, étant donné que la suite est croissante, pour tout N au-dessus de P, UN sera toujours plus grand que UP. Ainsi, à partir de P, pour tout N au-dessus de P, UN sera plus grand strict que A. Cela montre que la suite finit toujours par être au-dessus de tout A fixé, ce qui signifie qu'elle tend vers l'infini.

Petite vidéo rapide pour faire une démonstration officielle du théorème de convergence monotone dans un des cas, le cas où on dit toute suite croissante non majorée, donc qui ne se fait jamais bloquer, tend vers plus infini. C'est vrai que si elle a tendance à monter tout le temps et qu'elle n'est jamais bloquée, elle part à l'infini, c'est logique. On va revenir à la définition formelle de la convergence vers plus infini, et on va se rendre compte qu'en fait ça, c'est quasiment la même chose que cette définition formelle, donc ça ne va pas être très compliqué de la démontrer. On commence, on se donne un A, on ne voit pas très bien ce que j'ai écrit, on se donne un A positif, soit A positif strict. On va essayer de montrer ensuite que pour ce A fixé, je vais toujours trouver un certain rang à partir duquel la suite est au-dessus de ce grand A. Ça veut dire que tout grand A finira par se faire dépasser. C'est donc la définition formelle, mais vous voyez que dans ce cas, ça va être assez automatique. Comme UN n'est pas majoré, il va donc exister un antinaturel P, tel qu'à un moment, je sais que UP va être plus grand qu'A. UN non majoré, ça veut dire qu'il n'y a rien qui peut la bloquer. Donc il y a bien un moment où UP est plus grand qu'A, ça existe. Très bien, je vais combiner ça au fait qu'elle est croissante. Or, UN est croissante, donc quel que soit N au-dessus de P, je vais être plus grand que UP. J'aurai toujours UN plus grand que UP. Ça, ça veut dire quoi ? Ça veut dire qu'à partir de P, en fait, à partir de P, pour toute N au-dessus de P, UN est plus grand strict que A. C'est la fin, c'est la démonstration. J'ai bien pu montrer que pour tout A fixé, ma suite finit toujours par être au-dessus. C'est ça, tant de verbes plus infinis. Deux conclusions. Je vous laisse là-dessus et à la prochaine.

Th convergence monotone - démo

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