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Théorèmes de Convergence

Ce cours présente deux exemples d'application des théorèmes de convergence pour les fonctions sinus et moins 1 puissance n (exponentiation). Dans le premier exemple, nous étudions la suite un, définie comme n plus 2 fois sinus n. L'objectif est de montrer que pour tout n, un est supérieur à n-2. Pour cela, nous utilisons l'encadrement du sinus entre -1 et 1, et nous construisons la suite un en multipliant par 2 et en ajoutant n. Ainsi, nous obtenons un qui est supérieur à n-2. En utilisant la comparaison avec une suite qui tend vers l'infini, nous concluons que la suite un tend également vers l'infini. Dans le deuxième exemple, nous examinons la suite Vn, définie comme moins n carré moins n plus moins 1 puissance n. Puisque nous avons une puissance négative et alternante, nous utilisons à nouveau l'encadrement pour montrer que Vn est inférieur à une suite qui tend vers moins l'infini. En factorisant et en simplifiant les termes de plus haut degré, nous concluons que la suite Vn tend également vers moins l'infini. Ainsi, ces deux exemples illustrent comment utiliser l'encadrement pour traiter des suites impliquant sinus ou moins 1 puissance n.

Désormais on va faire une petite application des théorèmes de convergences pour les fonctions sinus et moins 1 plus sin, en fait on est dans le même cas. On va étudier la suite un égale n plus 2 fois sin n. L'exercice est guidé, on nous demande de montrer que pour toute n, un supérieur à n-2. Là j'ai pas le choix, à chaque fois que je vois du sinus, je vais l'encadrer. Donc le sinus n'a pas de limite, je vais pas pouvoir trouver la limite, il faut que je l'encadre. Donc le sinus n, comme tout sinus, il est compris entre moins 1 et ensuite je construis ma suite un à partir de là. Je vais multiplier par 2, c'est positif. Ensuite je rajoute plus n et donc je me retrouve avec un qui est supérieur à n-2. Cette partie-là de l'inéquation ne m'intéresse pas en fait mais elle est vraie. En fait un est compris entre n-2 et n plus 2. Moi ce qui m'intéresse c'est cette partie ici. Un est supérieur à n-2 et en fait n-2 tend vers plus infini par limite usuelle et un est plus grande qu'une suite qui tend vers l'infini. Donc par comparaison j'ai bien un qui tend vers l'infini. Deuxième exemple maintenant, on a Vn qui vaut moins n carré moins n plus moins 1 puissance n. Là c'est pareil, dès qu'on voit un moins 1 puissance n, on se dit bon bah je vais devoir encadrer parce que ça n'a pas de limite, c'est aussi entre moins 1 et 1. Là on voit tout de suite, c'est toujours bien de comprendre ce qui se passe dans la suite. Le moins 1 puissance n va jouer un rôle mineur parce que ça va faire moins 1 plus 1 moins 1 plus 1, alors que là j'ai quelque chose qui tend vers moins infini à cause du moyen carré et le moyen d'ailleurs aussi. Mais on sait que celui qui est dominant c'est le moyen carré. Donc ce moins 1 puissance n ne va pas du tout me gêner mais quand même je dois faire la démonstration proprement donc je vais faire par encadrement. Le moins 1 puissance n je dis que c'est entre moins 1 et 1, il me manque un moins. Et donc là je rajoute moins n carré moins n, une simple addition. Finalement j'ai encadré ma suite et je me retrouve avec Vn qui est inférieur à cette suite là, qui tend vers moins l'infini. Je le remonte proprement, je factorise par le terme de plus haut degré, ça fait n carré facteur de moins 1, moins 1 sur n, plus 1 sur n carré. La partie à droite tend vers 1, là ça tend vers moins 1 évidemment, le moins est important ici parce que ça va faire moins 1 plus l'infini. Donc moins n carré moins n plus 1 tend vers moins l'infini. Et donc comme ma suite Vn est plus petite qu'une suite qui tend vers moins l'infini, par comparaison j'ai Vn qui tend vers moins l'infini. Donc voilà deux exemples comment utiliser l'encadrement pour une suite qui fait intervenir sinus ou moins 1 puissance n.

Encadrer sin(n)

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