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Exo TRÈS classique
Dans cette méthode, nous étudions une suite qui est une fonction rationnelle de n, où le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur. La limite de cette suite est donnée par le quotient des coefficients dominants de ces polynômes. Cependant, nous ne nous intéressons pas directement à la limite, mais plutôt aux résultats préliminaires tels que la majoration, la croissance et la convergence.
Dans le premier exercice, nous devons montrer que la suite Un = (n-1)/(n+4) est majorée par 1. Pour cela, nous constatons que si le numérateur est inférieur à 1, alors le numérateur est inférieur au dénominateur. En partant de -1, nous remarquons que -1 est inférieur à 4. En ajoutant n et en effectuant le quotient, nous obtenons Un < 1.
Ensuite, pour étudier la monotonie de la suite, nous utilisons souvent la différence Un+1 - Un. Dans certains cas, nous pouvons également étudier le quotient Un+1 / Un. Cependant, certaines conditions doivent être vérifiées, comme le fait que Un ne s'annule jamais et ne change pas de signe. Si ces conditions sont remplies, le quotient peut être étudié.
Concernant la convergence, nous pouvons utiliser la méthode du quotient Un+1 / Un. En développant cette expression, nous obtenons une différence avec deux quotients. En regroupant tout au même numérateur, nous pouvons nous intéresser au signe du numérateur. Si le numérateur est positif, nous pouvons conclure que la suite Un est strictement croissante et positive. Cela implique qu'elle est croissante et majorée, donc convergente.
Cependant, il est important de noter que la limite n'est pas nécessairement le majorant trouvé. La limite peut être différente et il est donc essentiel de faire attention à cela. En utilisant les coefficients dominants des polynômes, nous pouvons facilement trouver la limite de la suite s'il s'agit d'une fonction rationnelle.
Dans l'exemple avec Un = (2n-2) / (n+4), nous montrons d'abord que la suite est majorée par 2. En utilisant la méthode de majoration successive, nous pouvons prouver que pour tout n appartenant à N, Un < 2. Ensuite, nous étudions les variations de la suite en calculant la différence Un+1 - Un. Après développement, nous obtenons un résultat strictement positif, ce qui signifie que la suite Un est strictement croissante. En utilisant le théorème de convergence, nous pouvons conclure que la suite Un converge, mais sans connaître sa limite exacte.
Il est important de noter que la méthode de la différence Un+1 - Un permet d'étudier les variations et la convergence de la suite, alors que la méthode du quotient Un+1 / Un permet de trouver directement la limite de la suite si elle est une fonction rationnelle.
