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Définitions

Lors de l'étude des limites de fonctions, nous pouvons nous inspirer de ce que nous avons fait avec les suites. Pour rappel, lorsque nous voyons les termes d'une suite se rapprocher d'une valeur et se coller à celle-ci, on dit que la suite converge. Les fonctions sont plus complexes que les suites car elles portent sur l'ensemble des réels, tandis que les suites se limitent aux entiers. Les fonctions peuvent donc prendre des valeurs pour tous les nombres réels, tels que -3, 0.74, racine de 2, etc. Il y aura donc plusieurs cas à étudier dans le cas des fonctions. En ce qui concerne les limites, nous pourrons parler de limites en l'infini (lorsque x tend vers l'infini), de limites en un réel (lorsque x tend vers un nombre réel spécifique), ainsi que des cas où il n'y a pas de limite. Il y aura également des cas où la fonction tendra vers une valeur réelle, vers plus l'infini, ou encore vers moins l'infini. Pour illustrer ces différents cas, des graphes peuvent être utilisés. Dans ce chapitre, nous verrons en détail tous ces exemples, avec des définitions et des exemples concrets. Nous aborderons également la notion d'asymptote, qui est une droite vers laquelle la fonction semble se coller. Nous étudierons tout cela à travers des exemples graphiques et des exercices. En résumé, il faudra connaître les définitions, les limites en plus ou moins l'infini, les exemples usuels, ainsi que les méthodes d'analyse graphique et de calcul de limites. N'hésitez pas à poser des questions ou à discuter avec les autres membres dans la FAQ.

La bonne nouvelle quand on étudie les limites de fonction c'est qu'on peut déjà s'inspirer de ce qu'on a fait sur les suites. Alors sur les suites c'était assez simple, on disait en gros quand on voit les termes d'une suite qui ont l'air de s'approcher d'une valeur et que ça se colle, ça converge. C'est une bonne intuition. L'idée c'est que pour les fonctions on aura beaucoup plus de cas. Les fonctions sont des objets plus complexes que les suites. Les suites en fait sont des fonctions, mais uniquement, qui portent uniquement sur les entiers. C'est à dire qu'on a tout l'axe des réels possible au X si vous voulez, et on prend uniquement 0, 1, 2, et on associe à ces chiffres-là, ces nombres-là, excusez-moi, on associe à ces nombres-là, donc les entiers, une valeur. Donc on dit on a 0, on associe du 0. On a 1, on associe du 1, etc. Les fonctions c'est beaucoup plus générique. En fait une suite c'est donc une fonction sur l'ensemble des entiers, une fonction en général se porte sur l'ensemble des réels. C'est à dire qu'il n'y a pas que 0, 1, 2 qui ont le droit à une image, il y a aussi, je ne sais pas, "-3", 0,74, racine de 2, etc. C'est pour ça que ça va être beaucoup plus complexe, il y aura beaucoup plus de choses à étudier, ça sera aussi beaucoup plus intéressant. Donc il y aura différents types de cas. On va pouvoir parler, dans le cas des fonctions, il y aura un vocabulaire plus élargi quand on parle de limites. On pourra parler de limites en l'infini, ça c'est ce qu'on voyait quand n tendait vers plus l'infini par exemple, donc là ça sera quand X tend vers l'infini, donc on aura plusieurs cas comme ça, et aussi en un réel. Donc ces cas-là correspondent aux cas où on dira par exemple limite de f2x quand X tend vers "-3", limite de f2x quand X tend vers, je ne sais pas, 7. Mais ensuite on aura, plus classiquement, vers quoi est-ce qu'on a une limite. Donc soit, il y a un cas que je n'ai pas détaillé ici, mais soit il n'y a rien du tout, c'est-à-dire que ça peut osciller à l'infini, par exemple si nous disons que ça va osciller, bon, il n'y aura pas de limite. Soit on va tendre vers un réel, donc là ici il y a le cas super classique où on se rend compte que la courbe va se coller à quelque chose. Là c'est un cas un peu plus fin, qu'on verra surtout dans le chapitre de continuité où on va tendre vers quelque chose, on va juste être sur la courbe. Et ensuite on peut aussi tendre vers plus l'infini, c'est-à-dire diverger, comme les suites. Alors soit, comme d'habitude, comme ça, soit des fois se coller à une valeur et aller vers plus l'infini très très haut, mais en s'approchant d'un réel. Donc pour illustrer tout ça, j'ai des graphes un peu plus zoomées que les petits ici. Premier exemple, le plus classique, en gros on a une fonction qui va tendre vers une valeur réelle, ici 3. Donc il y a l'exemple comme ça, il y a aussi des exemples qui sont possibles en décroissant, on voit que la courbe va se coller, ou des exemples un peu plus oscillants, comme on a vu pour les suites, qui vont ressembler plus à ça. Sur des zooms on voit que ça va aussi se coller à 3, quand X tend vers plus l'infini. Ça c'est le cas le plus classique. Quatre très classique également, quand une fonction tend vers plus l'infini, alors que X tend vers plus l'infini. C'est-à-dire le plus on va le long de l'axe ici, le plus on monte. Voilà c'est un genre d'exponential que je vous montre, très classique. Enfin, dernière petite illustration introductive, celle-là on passera un peu plus de temps dessus dans les vidéos qui viennent. Une fonction qui a l'air de tendre vers plus l'infini, genre très très très haut comme ça, ou moins l'infini derrière de l'autre côté, quand on s'approche d'une valeur réelle. C'est-à-dire une limite quand X tend vers 5. Voilà, c'est quelques exemples pour illustrer rapidement. Vous avez une idée de ce qui va venir en gros. Donc dans ce chapitre, on verra un peu tous ces exemples, on va détailler un petit peu, on aura des définitions formées, sachez que ça va vous plaire, des grands A, des epsilon, etc. Pas tant que ça, et on va surtout introduire la notion d'asymptote. L'asymptote, c'est un peu, c'est une droite, cette idée de ça se colle, on va un peu revenir dessus. Et on va essayer d'introduire tout ça avec beaucoup d'exemples graphiques bien sûr, et on verra comment les étudier, les analyser en exercice, etc. En bilan final, je vous mets ici comme d'habitude le résumé de ce sous-chapitre. Donc il faudra connaître sur les points de cours, les définitions, tout ce qui se passe en termes de limites en plus infini, moins infini. Il y aura des exemples à connaître, ce que c'est une limite réelle, ce que c'est que ces asymptotes horizontales, voire même obliques, ça sera un petit bonus. On verra ce qu'il se passe pour les limites qui vont genre en un réel, c'est-à-dire que la limite quand x tend vers 5 par exemple. Donc on aura des définitions, exemples usuels. Et ensuite quelques méthodes. Donc dans les méthodes, on aura tout ce qui est analyse graphique, parce qu'il y a pas mal d'exos, notamment de QCM et tout, où il y a des analyses graphiques à faire, il faut comprendre un peu quelle va être la limite, quelle va être l'asymptote, etc. On va faire des calculs de limites à propos de la fact... En utilisant par exemple la factorisation, on verra comment déterminer une asymptote. Et ensuite on verra comment utiliser les définitions, un peu comme on a fait pour les suites, pour trouver une limite. On trouve un grand A par exemple pour une limite en plus infinie, ou une limite finie avec un epsilon. Voilà, c'était ma petite vidéo d'intro. N'hésitez pas à me poser des questions, à aller discuter avec les autres membres dans la FAQ, et je vous retrouve pour le début de la session.

Introduction Limites

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