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Théorèmes de Convergence

Ce cours transcrit une vidéo qui fait le point sur les fonctions de référence et leurs limites en mathématiques. Il aborde également les règles de combinaison pour les différentes fonctions. 

Tout d'abord, il explique que la limite de 1/x est infinie lorsque x tend vers plus ou moins l'infini, et que la limite de 1/x est 0 lorsque x tend vers 0. Il utilise des graphiques pour illustrer ces concepts.

Ensuite, il observe les limites de x^n, où n est un nombre entier. Les fonctions x^n tendent rapidement vers plus l'infini lorsque x devient de plus en plus grand. Pour les nombres impairs, les fonctions x^n sautent d'un côté à l'autre de l'axe des abscisses.

Le cours aborde ensuite les limites des fonctions exponentielles et des racines. Les fonctions exponentielles tendent vers l'infini lorsque x tend vers l'infini, et vers 0 lorsque x tend vers moins l'infini. Les fonctions racines, quant à elles, ont des limites spécifiques. La racine de x tend vers 0 lorsque x tend vers 0, et 1/sqrt(x) tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini.

Le cours souligne l'importance de bien comprendre le signe des expressions dans les limites et de les combiner correctement. Enfin, il conseille de faire des fiches avec des dessins pour mieux mémoriser ces concepts.

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Dans cette vidéo, j'ai envie de faire un petit bilan de tout ce qu'il y a à connaître comme fonction de référence et leurs limites, ainsi que toutes les règles, avec les diverses formes problématiques qu'on va voir, toutes les règles de combinaison des différentes limites. Genre quand j'ai une somme de deux fonctions, est-ce que j'ai des règles sur la limite de leur somme ? Pareil pour le produit, le quotient, etc. Donc tout d'abord, on va regarder 1 sur x. Qu'est-ce qui se passe en 1 sur x ? Pour 1 sur x, la limite est en plus et moins l'infini, et ensuite en 0 plus 0 moins. Donc j'appelle 0 plus et moins le fait d'approcher 0 par valeur supérieure et inférieure. On va regarder ensuite les limites de x puissance n, et puis un petit bilan sur E2x et la racine de x. Je vais vous montrer ça avec un graphe, comme d'hab, ce sera beaucoup plus simple que de juste apprendre les formules bêtement. L'intuition de 1 sur x, c'est assez simple. 1 sur quelque chose de très gros, ça fait 0, voilà, simple. 1 sur un truc très très très petit, ça fait quelque chose de très gros. Donc c'est un peu l'idée, on va le voir en graphique. Voilà la fonction 1 sur x. Si vous regardez, qu'est-ce qui se passe quand on approche de 0 par valeur supérieure, c'est-à-dire par ici, 4, 2, jusqu'à 0,1, etc. La fonction tend vers plus infini. Donc voilà, limite de 1 sur x quand x tend vers 0, x positif. On arrive donc de ce côté, non pas du tout, de ce côté comme ça. Quand on arrive de ce côté, c'est plus infini. Quand on arrive de l'autre côté, alors on a 1 divisé par quelque chose de très très petit, genre divisé par "-0,0001", par exemple, ça fait un truc très très négatif, ça tend vers moins l'infini. En plus, c'est moins l'infini, on a bien du 0. Alors ensuite, le cas d'après, on vous dit, étudions f de x égale x puissance n, et on va vous dire, x puissance n en plus infini tend vers plus l'infini. C'est vrai, donc si je cache un peu ce qui se passe du côté moins l'infini, voici x puissance n avec n égale 1. Bon, pas de surprise, ça c'est f de x égale x. Si je prends n égale 2, vous allez reconnaître la parabole. n égale 3, une fonction cube, 4, 5, 6, 7, 8, etc. Toutes ces fonctions x puissance n tendent super vite, de plus en plus vite en l'occurrence, vers plus l'infini. Donc si x devient de plus en plus grand, la fonction monte de plus en plus. Là on dirait qu'elle est bloquée comme s'il y avait une asymptote verticale, mais non. Elle va tendre vers plus l'infini de plus en plus, sauf que c'est extrêmement rapide. J'avais caché le côté négatif, enfin le côté moins l'infini, le côté des noms négatifs, parce que justement on vous dit dans le cours, ça va dépendre du signe de n. Comprenez bien, si n vaut 2 par exemple, x au carré, c'est toujours positif. Donc en fait vous pouvez retenir, quand c'est de pair, c'est toujours positif, ça part aussi vers plus l'infini. Si n vaut 4 aussi, si n vaut 6 aussi, 8 aussi. Vous avez déjà vu ce qui se passe pour les nombres impairs, ça saute de chaque côté. Oui, parce que quand on fait un nombre impair 2 fois la multiplication de x, donc ça c'est x3 par exemple, quand je fais x fois x fois x, si c'est négatif, ça fait du négatif fois du négatif plus, fois du négatif moins. Toute multiplication d'un nombre impair au terme négatif va être négative. Et donc ça va partir vers moins l'infini, c'est l'explication. Alors la suite c'était quoi ? Oui, on a fait 1 sur x, x puissance n, il y avait ensuite quelques trucs sur l'exponentiel et la racine, donc on va regarder ça. Voilà, exponentiel de x en orange, exponentiel de moins x en vert. Exponentiel de x, vous connaissez, ça monte vers plus l'infini en plus l'infini, ça s'écrase en 0 en 0. Exponentiel moins x, c'est le contraire, elle est complètement symétrique. Exponentiel moins x, c'est en vert, 0 en plus l'infini, exponentiel moins x c'est en vert. Euh, alors excusez-moi, exponentiel moins x c'est en vert, plus l'infini en moins l'infini, parce que ça fait exponentiel de moins, moins l'infini, ça fait plus l'infini si vous voulez. Ça il faut bien le retenir par coeur dans les exos, ils vont essayer de vous avoir en mettant des trucs, des fois ça sera un signe moins, il ne faudra pas oublier, enfin, il ne faut pas essayer de vous emmêler les pinceaux, bien vous rappeler est-ce que je suis en train de faire, quel est le signe de ce qui est dans l'exponentiel, et quelle est la limite qu'on me demande. Combinez bien les deux et ne vous embrouillez pas, ça devrait aller. La deuxième chose que je devais vous montrer c'est la racine, donc racine de x, c'est comme ça. Bon ben racine de x, vous pouvez regarder, qu'est-ce qui se passe quand ça tend vers 0 ? Ben ça fait racine de 0, ça fait 0, pas de limite spécialement, bizarre. En plus l'infini, ça tend vers plus l'infini. 1 sur racine de x, ensuite, ça c'est un petit peu différent, c'est comme ça, donc c'est différent de racine de x. 1 sur racine de x, c'est comme 1 sur x, c'est-à-dire que quand x devient très très grand, ça finit quand même, même si c'est lent, par faire 1 sur quelque chose de très gros. Donc 1 sur énorme truc, ça fait quand même 0, c'est pour ça qu'en plus l'infini, ça tend vers 0. Et en 0, c'est aussi un peu comme 1 sur x. Ben ouais, c'est 1 sur un truc très très très petit, ça fait quelque chose de très grand. Voilà pourquoi ça a cette tête-là. C'est pas trop dur, rappelez-vous, je pense, faites-vous des fiches avec les dessins, c'est pas trop compliqué de retenir le tableau quand vous avez le dessin en tête. Voilà, c'était un petit bilan graphique pour ces différentes fonctions, j'imagine que vous avez peut-être déjà une idée, une intuition dessus, là au moins, je pense que c'est bien illustré. Retenez bien les différents cas, retenez bien surtout ceux-là, parce qu'il y a des trucs un peu vicieux qui peuvent arriver en exo. Si vous avez des questions en plus, n'hésitez pas dans la FAQ, et je vous dis à la prochaine.

Tableaux : fonctions de référence

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