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Dériver une composée
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment dériver une fonction composée. La composition de fonctions a été étudiée en détail, avec des contraintes sur les ensembles d'arrivée et de départ des fonctions. Pour dériver une fonction composée, nous allons utiliser des exemples simples que nous connaissons déjà.
Pour une fonction dérivable u et un réel x, on peut dire que la dérivée de 1/x est -1/x^2. De la même manière, la dérivée de 1/u est -u'/u^2. Il est important de ne pas oublier la dérivée de u dans cette formule.
En reprenant l'exemple de la racine carrée de x, la dérivée de la racine carrée de u est u'/2√u, encore une fois en n'oubliant pas la dérivée de u.
La généralité qui se dégage de ces exemples est que la dérivée d'une fonction composée est égale à la dérivée de la fonction de départ appliquée à la fonction d'arrivée, multipliée par la dérivée de la fonction d'arrivée. Il faut toujours se rappeler de multiplier par la dérivée de la fonction d'arrivée.
La définition formelle de la dérivée d'une fonction composée est que si u et v sont deux fonctions dérivables, la dérivée de v composée avec u est égale à la dérivée de v appliquée à u, multipliée par la dérivée de u.
Une conséquence importante de cela est que si les fonctions v et u ont la même monotonie (croissante ou décroissante), alors la fonction composée v composée avec u est également croissante. Par contre, si les fonctions ont des monotonies opposées, la fonction composée sera décroissante.
Pour résumer, pour dériver une fonction composée, on applique la dérivée de la fonction de départ à la fonction d'arrivée, en n'oubliant pas de multiplier par la dérivée de la fonction d'arrivée. Si les fonctions sont de même monotonie, la fonction composée sera croissante, sinon elle sera décroissante.
