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Lien dérivation
La convexité d'une fonction peut être déterminée en étudiant les variations de sa dérivée. Une fonction est dite convexe sur un intervalle si, pour tout réel x de cet intervalle, sa dérivée est croissante. De même, une fonction est dite concave sur un intervalle si sa dérivée est décroissante. Pour illustrer cette notion, prenons l'exemple de la fonction cube. Au départ, la fonction semble concave, puis elle devient convexe à partir d'un certain point. On peut observer que la dérivée de la fonction diminue au début, puis augmente à partir du point de changement. Ainsi, le comportement de la dérivée est en parallèle avec la convexité de la fonction. Une autre manière de visualiser cela est de tracer la courbe de la dérivée. En observant la concavité de la fonction, on remarque que la courbe de la dérivée est décroissante, puis elle augmentent à partir du point de changement.
L'étude de la convexité peut être simplifiée en calculant la dérivée seconde de la fonction. Si la dérivée seconde est positive, la fonction est convexe sur les intervalles correspondants. Si la dérivée seconde est négative, la fonction est concave sur les intervalles correspondants. Ainsi, on peut déterminer la convexité d'une fonction en calculant simplement sa dérivée seconde. En résumé, pour une fonction deux fois dérivable, la fonction est convexe si la dérivée seconde est positive et concave si la dérivée seconde est négative. Cette méthode simplifie l'étude de la convexité en évitant de comparer les courbes et les droites.
