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Analyse Terminale

Fonctions et Limites

Nous allons maintenant étudier une fonction qui fait intervenir le logarithme. Nous allons voir comment effectuer une étude de fonction avec les logarithmes. La fonction proposée est ln(2x+1) / ln(2x-1). Elle est définie sur l'intervalle de 0 exclu à l'infini. Nous ne pouvons pas avoir e dans l'intervalle à cause du dénominateur qui s'annulerait. La dérivée de cette fonction est -2x / (ln(2x-1))^2. Cette dérivée est strictement négative sur l'intervalle considéré. Il y a une valeur interdite en e, ce qui signifie que la fonction n'est pas décroissante sur tout l'intervalle. La fonction descend jusqu'à un certain point puis remonte à l'infini. Lorsqu'il y a une valeur interdite, c'est souvent parce qu'il y a une division par zéro, ce qui entraîne une variation de signe de part et d'autre de cette valeur. Nous allons donc étudier les limites de la fonction pour avoir un tableau de variation complet. En 0, la fonction tend vers 1. Pour les valeurs inférieures et supérieures à e, la fonction tend respectivement vers moins l'infini et plus l'infini. Donc notre tableau de variation est complet. Si nous représentons graphiquement la fonction, nous pouvons observer qu'elle possède une asymptote verticale en x = e et une asymptote horizontale en y = 1. La fonction est décroissante jusqu'à un certain point, puis décroît à nouveau. Il est important de noter qu'il y a un saut de moins l'infini à plus l'infini, ce qui signifie que la fonction n'est pas décroissante sur tout l'intervalle considéré. Voilà pour cette méthode d'étude de fonction utilisant les logarithmes. Si vous avez des questions, vous pouvez consulter la FAQ.

On va maintenant s'intéresser à une étude de fonction faisant intervenir le logarithme. C'est une fonction facile à étudier, mais la méthode est plutôt classique, donc on va regarder un peu comment on fait une étude de fonction avec les logarithmes. La fonction proposée c'est ln2x plus 1 sur ln2x moins 1. Evidemment elle est définie sur 0e exclue e plus l'infini. Pourquoi on parle de 0 à cause du logarithme et pourquoi pas e, parce qu'évidemment à cause du dénominateur qui s'annule en e. Donc j'ai bien dérivable sur un val comme caution de telle fonction. C'est de la forme u sur v, donc la dérivée c'est g' égale u'v moins uv' sur v². Donc j'applique, je fais mes petits calculs et je m'en retrouve avec ici le ln2x simplifié avec le ln2x là, il me reste tout simplement moins 2x sur ln2x moins 1 au carré. Donc là tout ce qui est en bas est strictement positif puisqu'on est sur r étoile plus, là on a un carré positif aussi, donc finalement à cause du moins 2 là, g'2x est strictement négatif. Alors attention il y a une valeur interdite en e, donc ne dites pas que j'ai une décroissante sur tout l'intervalle i. Non, on sépare les deux intervalles, on va dire qu'elle est décroissante sur 0e et décroissante sur e plus l'infini. Mais ça ne veut pas dire qu'elle est décroissante sur tout l'intervalle, parce que, et typiquement c'est ce qui va se passer là, elle va descendre et après elle va repartir de plus l'infini. Donc en fait il y a un décrochage là, et donc de ici à là elle n'est pas décroissante, elle va remonter à plus l'infini, donc ça c'est hyper important. Alors quand il y a une valeur interdite, très souvent, pas tout le temps tout le temps, mais c'est très souvent en fait, c'est parce qu'il y a une division par 0, en fait on va de part et d'autre de cette valeur, on sera plus ou moins infini. Donc en fait vous savez que, dans certains cas ce sera tous les deux plus l'infini, des deux côtés moins l'infini, mais le plus souvent c'est moins l'infini d'un côté et plus l'infini de l'autre. Donc on va étudier les limites de G pour avoir un tableau de variation complet. Donc regardons en 0, donc on va faire une chose propre pour avoir le tableau de variation complet. Donc là en 0, j'utilise la méthode où je factorise par le terme dominant, c'est ça qu'il faut toujours comprendre. Ici en 0, ln de x tend vers moins l'infini, donc c'est lui qui domine par rapport au 1. Donc je factorise par ln de x, en haut et en bas, et du coup là c'est beaucoup plus simple, parce que là ce truc là tend vers 0, celui là aussi ça fait 1 sur 1, donc en 0 ça tend vers 1. Maintenant en E, donc ln de x, alors là on va devoir distinguer en E- et E+, par valeur inférieure et par valeur supérieure. En E-, ln de x-1 tend vers 0-, en E+, ça tend vers 0+. Et lui, ln de x plus 1, il tend vers, quand x tend vers E, il tend vers 2, que ce soit vers E+, ou vers E-. Donc par quotient, ça me fait 2 sur 0- ou 2 sur 0+, je vois qu'en E-, ça va tendre vers moins l'infini, et en E+, ça va tendre vers plus l'infini. D'où mon tableau de variation, au-dessus, qui est complet, avec toutes les limites. Ah oui, j'ai oublié le plus infini, pardon. Il nous manque plus l'infini, hop, plus l'infini, c'est pareil, on factorise par le terme dominant qui est ln de x, je reutilise les mêmes expressions que tout à l'heure, pour 0, et je vois que ça tend vers 1 aussi. Donc là mon tableau de variation est complet, avec toutes les limites. Alors si on trace la fonction, celle qui est tracée en rouge, on voit qu'au cause de la valeur interdite, on a une asymptote verticale, d'équation x égale E, et pas Y, pardon, x, voilà, et on a une asymptote horizontale en plus de l'infini, puisque f de x tend vers 1. Donc c'est une asymptote horizontale d'équation y égale 1. Et là on voit bien ce qu'on disait tout à l'heure, là elle est décroissante, là elle est décroissante, mais je ne peux pas dire qu'elle est décroissante sur tout l'intervalle Y, parce qu'il y a un saut de moins l'infini ici, à plus l'infini là, voilà, donc ça c'est très important. Voilà pour cette méthode sur l'étude de fonction qui utilise le logarithme. Si vous avez des questions, comme d'habitude, vous pouvez aller sur la FAQ.

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