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Dérivation Composition
Dans ce cours, on corrige un exercice de dérivation sur les fonctions trigonométriques. L'exercice comporte deux questions indépendantes avec des fonctions f utilisant les fonctions sin et cos.
Pour la première question, la fonction f(x) est définie comme sin(x) + cos(x) / (1 + cos(x)). On reconnaît un quotient et il faut vérifier l'ensemble de dérivabilité avant de calculer la dérivée. En résolvant l'équation 1 + cos(x) = 0, on trouve que cos(x) = -1. Sachant que le cosinus est égal à -1 en pi sur le cercle trigonométrique, on a x = pi + 2kpi, avec k appartenant à Z. Comme on nous demande d'étudier la fonction sur l'intervalle ouvert (0, pi), on n'a pas de problème d'annulation du dénominateur et la fonction est dérivable sur cet intervalle.
La fonction f(x) est de la forme u/v, un quotient. On utilise la formule de dérivation pour les quotients : u'v - uv'/v^2. On calcule la dérivée de u, qui est cos(x) et la dérivée de v, qui est -sin(x). On développe ensuite cette expression pour simplifier les termes et obtenir l'expression de la dérivée de f(x), qui est 1 + cos(x) - sin(x) / (1 + cos(x))^2.
Pour la deuxième question, on a un produit de deux fonctions trigonométriques, ce qui n'a pas de problème de dérivabilité. On utilise la formule de dérivée pour le produit : u'v + uv'. On applique cette formule en calculant les dérivées des fonctions u et v, qui sont composées. On obtient ainsi l'expression de la dérivée de f(x), qui est -2sin(2x)sin(5x+3) + 5cos(2x-1)cos(5x+3).
Ce sont les calculs de dérivées effectués dans ce cours. On recommande de pratiquer sur des exercices similaires pour être sûr de bien comprendre et maîtriser les formules de dérivation. Il est également utile de consulter les flashcards pour vérifier ses connaissances en dérivation.
