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Dans cette vidéo, on apprend à résoudre des équations trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique. On rappelle qu'il y a souvent deux solutions dans une équation trigonométrique en raison de la périodicité des fonctions trigonométriques. On utilise les valeurs remarquables des fonctions trigonométriques pour simplifier les équations. On utilise également des astuces mnémotechniques pour mémoriser ces valeurs. On résout ensuite l'équation en utilisant les formules "sinus A = sinus B" et "cosinus A = cosinus B". On résout chaque équation en isolant la variable et en simplifiant les expressions. On obtient ainsi plusieurs solutions, et on vérifie ensuite dans quel intervalle ces solutions se trouvent. On doit également prendre en compte le fait que l'angle est défini à 2π près. On termine en résolvant une inéquation trigonométrique en utilisant les mêmes étapes que pour l'équation. On obtient un ensemble d'intervalles de solutions.

Bonjour à tous ! Dans cette méthode, on va voir comment résoudre une équation trigonométrique. On a les deux cas. A chaque fois, ce qu'il faut toujours dans ce genre de méthode, c'est soit penser ou écrire le cercle trigonométrique, comme je l'ai fait juste en dessous. C'est très utile, soit au brouillon, soit sur la feuille, mais ça permet souvent de bien comprendre ce qui se passe. L'autre chose à bien mémoriser, c'est d'autre part qu'il y a souvent deux solutions dans une équation trigonométrique. N'oublions pas qu'il y a deux valeurs de θ qui ont le même sinus, et de la même manière deux valeurs de θ qui ont le même valeur de cosinus. Il y en a même plus que deux si vous vous placez dans un intervalle plus grand que 0 de π ou moins π. De toute façon, on sait qu'un angle est défini à 2π près. On va se lancer. Pour la première, c'est une équation. Là, très important, on voit l'intervalle. L'intervalle sur lequel on doit résoudre, c'est moins π, ici. Il faut donner des solutions dans cet intervalle-là. L'équation, c'est celle-ci. Sinus de 2x plus π sur 4 égale racine de 3 sur 2. Évidemment, quand on voit racine de 3 sur 2 tout de suite, il faut penser au fait que c'est sinus de π sur 3. Là, il n'y a pas de miracle. Il faut connaître par cœur les valeurs remarquables. Il n'y a pas de secret. C'est au moins celle du cosinus et du sinus. Et vous retrouvez celle de la tangente en faisant le rapport des deux. Petite astuce. On peut voir qu'il y a des tableaux qui sont beaucoup mieux faits que ceux-là. Mais juste quelque chose de rigolo, c'est que finalement, 1,5, on peut regarder ça et l'écrire sous la forme racine de 1 sur 2. On voit que pour le sinus, c'est 0, racine de 1 sur 2, racine de 2 sur 2, racine de 3 sur 2, et 4, racine de 4 sur 2. On peut l'écrire comme ça. Ici et là, c'est 0, racine de 0 sur 2. On peut très bien dire que c'est racine de 0 sur 2, racine de 1 sur 2, racine de 2 sur 2, racine de 3 sur 2, racine de 4 sur 2. Et dans l'autre ordre pour le cosinus. C'est un moyen mnémotechnique, libre à vous de choisir la façon dont vous voulez mémoriser, mais il faut absolument connaître par coeur ces valeurs. Sans ça, ça va être compliqué. Je remarque que le racine de 3 sur 2, c'est sinus de pi sur 3. Je me retrouve avec une équation du type sinus A égale sinus B. Ou sinus X égale sinus Y, comme je l'ai écrit en dessous. Dans ce cas-là, il y a deux solutions. C'est soit X égale Y, modulo de pi, soit X égale pi moins Y. Parce que theta et pi moins theta ont le même sinus qui est l'ordre donné ici, dans mon cercle trigonométrique. Je ne me soucie pas trop, je vais écrire plus de kpi qu'appartenant Z, et après je vais voir parmi ces solutions, celles qui sont dans le bon intervalle qu'on cherche, c'est-à-dire moins pi, pi. Très bien, je résous, ça fait deux équations différentes. 2X plus pi sur 4 égale pi sur 3 plus 2kpi, ou 2X plus pi sur 4 égale pi moins pi sur 3 plus 2kpi. Je résous, je résous, je résous. Et là, je fais passer le pi sur 4 de l'autre côté. Là, idem, je divise par 2 et je trouve X égale pi sur 4 plus kpi. Attention, le 2kpi est modifié en kpi, donc j'ai deux solutions finalement. Et sinon, j'ai X qui égale à 5pi sur 24 quand je simplifie, plus kpi aussi. Maintenant, cherchons les cas pour lesquels mon X est bien dans l'ensemble cherché. Ne jamais oublier le plus de kpi dans une égalité entre des angles, parce que ça peut avoir une incidence, notamment quand on doit diviser. Là ici, j'ai divisé par 2, mon modulo de pi s'est transformé en modulo de pi. J'ai un premier ensemble de solutions, un deuxième ensemble de solutions. Maintenant, je vais garder que ceux qui sont dans l'intervalle moins pi, pi, qu'on appelle aussi la mesure principale. Je résous, pi sur 24 plus kpi, qui est compris entre pi et moins pi, et il faut que je trouve la valeur de k associée. Je résous pour k, ça me fait k qui est compris entre moins 25 sur 24 et 23 sur 24, sachant que k est un entier. Là, j'ai deux solutions, j'ai k égale moins 1 ou k égale 1. Idem pour l'autre inéquation, je cherche pour quelle valeur de k on a, 5pi sur 24 jusqu'à pi, qui est compris entre moins pi et pi. Là, ça me fait k est compris entre moins 29 sur 24 et 19 sur 24. Là, idem, j'ai deux solutions, c'est k égale moins 1 ou k égale 0. Finalement, j'ai 4 solutions en total, 2 et 2, qui sont récapitulées ici. Donc, moins 23, pi sur 24, moins 19, pi sur 24, pi sur 24 et 5pi sur 24. C'est très facile d'oublier des solutions. Il faut bien être rigoureux sur la résolution, de bien poser le plus de kpi, et comme ça, on obtient toutes nos solutions. Ça, c'était pour l'inéquation, maintenant on va résoudre une inéquation. Là, de la même manière que tout à l'heure, j'ai un 1,5 que je peux identifier comme cosinus de pi sur 3. Donc finalement, mon équation cosinus de 4x moins pi sur 3 inférieure à 1,5, c'est cosinus de 4x moins pi sur 3 qui est plus petit que cosinus de pi sur 3. Là, c'est pareil, je m'aide de mon cercle trigonométrique qui est très utile, j'ai tracé pi sur 3, le cosinus est ici, il vaut 1,5, et je cherche tous les angles qui ont un cosinus inférieur. En fait, ce sont toutes les solutions qui sont ici, sur cette partie du cercle trigonometrique. Finalement, ils sont compris entre pi sur 3 et là-bas, au choix, moins pi sur 3 ou 5 pi sur 3, ça dépend dans quel sens on le décrit. Visuellement, j'ai la solution, maintenant j'ai plus qu'à résoudre. Du coup, il faut que j'ai mon cos de 4x moins pi sur 3, qui doit être compris entre pi sur 3 plus 2kpi et 5 pi sur 3 plus 2kpi. Je n'ai pas trop à me soucier, est-ce que je prends la valeur en dessous modulo 2pi ou pas, de toute façon, j'ai mis un plus 2kpi là et là. Par le calcul, je vais trouver quel cas va convenir. Je résous, je fais passer le moins pi sur 3 de l'autre côté, je retrouve 4x divise par 4, et voilà. Finalement, mon équation devient ça, x doit être compris entre pi sur 6 plus kpi sur 2 et pi sur 2 plus kpi sur 2. Et là, l'énoncé me demande explicitement de trouver les solutions dans 0,2pi. Attention, le cas doit être le même là et là, c'est la même inéquation, je ne peux pas prendre un cas différent. Sinon, on voit bien ce qui se passe, si je ne prends pas le même cas, je peux faire plusieurs fois le tour, je vais arriver au même endroit, et là je suis passé par cette zone qui est interdite. Je sais que si je pars de 0, j'ai pi sur 3 jusqu'à 5pi sur 3, éventuellement je continue à faire le tour, là ici je suis à 7pi sur 3, et je continue jusqu'à 7pi sur 3, et j'arrive à 6pi sur 3, et ensuite 9pi sur 3, donc j'arrive à 8pi sur 3, 7pi sur 3, 9pi sur 3. En tout cas, il faut que ce soit le même cas. Là je résous, il faut que je trouve la valeur de k, il faut que la première valeur de x soit dans 0,2pi, donc je cherche le k pour que cette valeur soit dans 0,2pi. Je résous, je me retrouve avec k qui est compris entre moins un tiers et onze tiers. Là j'ai plein de solutions, j'ai k qui vaut 0 ou 1 ou 2 ou 3. Pour toutes ces valeurs de k, pi sur 6 plus 4pi sur 2 est bien dans 0,2pi. Maintenant il faut être sûr que pour la dernière valeur, celle-là ne soit pas trop grande, on pourrait être juste en dessous de 2pi ici, et là on serait juste au-dessus, à droite. Là il faut faire attention à ça. Je vais me contenter de vérifier que pour la dernière, pour k égale 3, j'ai toujours pi sur 2 plus kpi sur 2 qui est inférieur à 2pi. Pour k égale 3, je fais le calcul, pi sur 2 plus kpi sur 2, ça me fait 2pi et ça rentre pile poil. C'est bon, c'est parfait. Si on le met sur une frise, on comprend bien ce qui se passe. Ici j'ai 0, ici j'ai 2pi, et là j'ai mes intervalles successifs. Ça c'est pour k égale 0, ça c'est pour k égale 1, ça c'est pour k égale 2, et k égale 3. Et à chaque fois, ce petit bout-là de valeur interdite, c'est quand je passe dans le cercle sur cette zone ici, quand je fais croître mes angles. Finalement, mes solutions d'une équation, c'est une réunion d'intervalles. Premier intervalle, pi sur 6, pi sur 2, union 2pi sur 3pi, union 7pi sur 6, 3pi sur 2, union 5pi sur 3, 2pi. Cet exercice, cette méthode n'était pas évidente, il faut bien poser de nouveau le calcul, trouver le cas qui convient pour avoir toutes les solutions, et ne pas les oublier, puisque le danger c'est ce dont on oublie. Si quelque chose n'est pas clair pour vous, n'hésitez pas à aller dans les FAQ de vous manifester. Voilà pour cette vidéo !

(in)équation trigo

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