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Primitives : condition initiale
Dans cet exercice, nous devons vérifier si la fonction proposée, F(x) = x³ + ln(x), est une primitive de la fonction f(x) = 3x² + 1/x. Pour cela, nous dérivons F(x) et vérifions si nous obtenons f(x). En dérivant F(x), nous obtenons 3x² + 1/x, ce qui correspond à f(x). Donc, F(x) est bien une primitive de f(x).
Il est important de noter ici que F(x) est une primitive de f(x), mais il existe une infinité de primitives définies à une constante additive près. Nous devons donc trouver l'ensemble des primitives de F(x) et déterminer celle qui prend la valeur 0 pour la condition initiale E.
L'ensemble des primitives de F(x) est donné par F(x) + K, où K est une constante réelle. Donc, les primitives de F(x) sont de la forme F(x) + K = x³ + ln(x) + K.
Pour trouver la valeur de K qui fait que la primitive s'annule en E, nous évaluons la primitive en E et résolvons F(E) + K = 0. En calculant F(E), nous obtenons E³ + 1 + K. Donc, pour que cette équation soit vérifiée, K doit être égal à -1 - E³.
Ainsi, la primitive de F(x) qui s'annule en E est x³ + ln(x) - 1 - E³.
Cet exercice introduit les méthodes de calcul des primitives, qui sont indispensables pour la résolution des équations différentielles. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser dans la FAQ. C'est une méthode importante à connaître.
