All subjects
- All subjects
Transformer puis primitiver
Dans cette vidéo, nous apprenons comment trouver une primitive d'une fonction lorsque celle-ci n'est pas évidente à trouver. La dérivation est facile, mais trouver une primitive peut être compliqué. Nous allons étudier le cas d'un produit où il peut être difficile de trouver la primitive.
La fonction que nous étudions est f(x) = 3x^2 + 2x^3 + 2x. Nous allons essayer de l'identifier sous la forme u' * u. En choisissant u(x) = x^3 + 2x, nous pouvons dériver u et obtenir u'(x) = 3x^2 + 2, ce qui correspond à notre fonction.
Une primitive de u'(x) * u(x) est donc (1/2) * (u(x))^2, ce qui donne (1/2) * (x^3 + 2x)^2.
Ensuite, nous voulons trouver une primitive qui prend la valeur 5 lorsque x = 1. Nous utilisons la formule des primitives qui sont toutes de la forme f(x) + k, où k est une constante réelle. Nous pouvons résoudre cette équation en substituant les valeurs et trouver que k = 1/2.
Finalement, la fonction recherchée est (1/2) * x^3 + 2x^2 + 1/2.
Ensuite, nous étudions une nouvelle fonction g qui est un produit avec un dénominateur. Pour traiter ce cas, nous utilisons une méthode classique de décomposition en éléments simples. Nous trouvons les réels a et b tels que g(x) = a/x + b/(x-1). En regroupant les termes et en identifiant les coefficients, nous obtenons a + b = 0 et -a = 1. Nous résolvons ce système d'équations pour trouver a = -1 et b = 1.
La fonction g(x) devient donc -1/x + 1/(x-1).
Pour trouver la primitive de cette fonction, nous calculons la primitive de chaque terme séparément. La primitive de -1/x est -ln|x| et la primitive de 1/(x-1) est ln|x-1|. La fonction proposée -ln|x| + ln|x-1| est donc une primitive de g(x).
Il est important de noter que pour le domaine de définition de g, qui est de 1 à l'infini, la primitive est définie à partir de 1 en raison du terme ln|x-1|. De plus, la primitive de 1/x est ln|x| en valeur absolue, car elle n'est pas définie pour les valeurs négatives de x.
En conclusion, nous avons appris deux méthodes pour calculer des primitives : l'identification d'un produit sous la forme u' * u et la décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples.
