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Décomposition en éléments simples
Dans ce cours, on apprend à simplifier des fractions rationnelles, c'est-à-dire des fractions avec des fonctions polynomiales. On peut séparer les monômes, qui sont des polynômes de degré 1. Pour simplifier ces fractions, on peut utiliser deux méthodes. La première consiste à mettre tous les termes au même dénominateur et les égaliser à 1. On identifie ensuite chaque terme et résout l'équation correspondante. Cependant, cette méthode est assez lourde. La deuxième méthode, plus astucieuse, consiste à prendre les expressions en x, x+1 et x-1 pour isoler les constantes a, b et c. On multiplie ces expressions à l'expression donnée pour obtenir des équations. En utilisant des valeurs appropriées pour x, on peut isoler chaque constante. Cette méthode est plus rapide et permet de résoudre le problème en deux minutes environ. Ensuite, on détermine les primitives. On ajoute une constante k et on précise que k est un nombre réel. Enfin, on étudie les limites de ces primitives en l'infini et en 1. On peut utiliser certaines propriétés du logarithme pour simplifier les expressions et calculer les limites. Par exemple, la limite du logarithme de x lorsque x tend vers 0 est égale à moins l'infini. En utilisant ces techniques, on peut déterminer les limites des primitives et résoudre l'exercice.
