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Analyse Terminale

Les Primitives

Lorsque nous avons une fonction exponentielle, la primitive sera probablement un polynôme du même degré multiplié par l'exponentielle. Par exemple, si nous avons une fonction de degré 2, la primitive sera probablement du type ax2 + bx + c * e^x. Pour trouver la dérivée de F' de moins 1, nous utilisons la propriété que la dérivée d'une fonction primitive est égale à la fonction elle-même. En utilisant les résultats de la question précédente, nous identifions les paramètres a et b et obtenons F' de x = -x + 3 - x^2 + 3x - 2x.

on repart dans le primitif, on vous dit soit f une fonction comme ça. Moi tout de suite quand je vois un truc comme ça, en fait quand il y a une exponentielle, réflexe numéro 1, vous pouvez savoir qu'en général si j'ai une fonction genre polynôme fois exponentielle, sa primitive ça va sûrement être un polynôme du même degré fois l'exponentielle. Là je m'attends à du ax2 plus bx plus c fois exponentielle x comme primitive. On va voir ici que c'est apparemment ce qu'on va chercher. Donc si j'aurais eu un polynôme de degré 3 je vous aurais dit à coup sûr la primitive va être un polynôme de degré 3 à quelconque, je sais pas trop après lequel exactement bien sûr, fois exponentielle x. Donc c'est un peu des règles classiques, c'est vrai que c'est plus des règles génériques de relations entre primitives et les fonctions qu'on apprend dans le supérieur, mais là vous pouvez commencer à avoir les intuitions à force de voir des exercices. Terminer f' de moins 1. Bon ben f' de moins 1, si on a compris que f c'était une primitive, bon ben c'est f de moins 1. Donc là le dérivé de F' c'est f. Par définition c'est quand même primitive. Et donc ça fait, bon ben, moins petit 2. On admet qu'il est possible de trouver des nombres a et b tels que F' de x s'écrit comme ça. Exprimer F' de x. Ok, F' de x égale, on va dériver, donc je vais mettre E de x d'abord, donc je fais U' V fois V'. Donc voilà, F' de x exprimé en fonction de x a et b. Très bien. En utilisant le résultat trouvé à la question 1 démontré pour toutes x de R on a ça. Alors je ne sais pas trop si c'est le résultat de la question 1, mais en fait en utilisant juste l'expression de F' quoi. Je sais, donc F' est une primitive. On a... Il faut identifier les trois paramètres. En gros on a d'un côté, on a l'égalité des deux polynomes, si et seulement si, le paramètre devant le x2, celui devant le x et celui qui est constant sont les mêmes. Et donc quand j'identifie, je trouve que a égale à moins 1 direct, 2a plus b doit être égal à 1, ça c'est le terme en x, et b moins 1 doit être égal à 2. Je vérifie assez vite que a doit être égal à moins 1, b doit être égal à 3, et j'ai trouvé que F' de x égale. Alors c'est quoi ? moins 1 fois x, donc moins x plus 3, moins x2 plus 3x, moins 1 fois plus 2x.

Polynôme × exponentielle

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