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Lien avec les Primitives

Dans ce cours sur le calcul intégral, nous abordons la méthode de calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive. Le principal défi de ce chapitre est de trouver une primitive, ce qui peut être difficile par rapport à la dérivation qui est souvent plus simple. Nous allons donc nous concentrer sur cette étape.

Dans cet exercice spécifique, nous devons calculer l'intégrale de 0 à pi de x² moins cos2x. La première étape est de trouver une primitive de cette fonction. Comme nous avons affaire à une somme, la primitive de la somme est égale à la somme des primitives. Il suffit donc de trouver les primitives de x² et de cos2x.

La primitive de x² est x³ et la primitive de cos2x est ½ sin2x. Nous avons donc bien trouvé une primitive pour notre fonction f. 

Une remarque importante est que la primitive de coskx est 1/k sinx, ce qui nous permet de trouver la primitive de cos2x. Nous vérifions ensuite que lorsque nous dérivons cette primitive, nous retombons bien sur la fonction initiale.

Nous appliquons ensuite simplement le théorème fondamental en substituant les bornes de l'intégrale par la fonction primitive. Il est important de faire attention aux signes lors de cette étape, car les erreurs de signes sont courantes.

En développant les calculs, nous remarquons que le sinus de pi est égal à 0, ce qui nous permet d'éviter des erreurs de signes. Finalement, nous obtenons le résultat de l'intégrale, qui est pi³/3.

C'est ainsi que nous avons calculé notre première intégrale en utilisant la méthode des primitives.

Première méthode sur le calcul intégral, on va calculer notre premier intégral avec une primitive. Tout l'enjeu du chapitre d'intégration, souvent, ça va être de trouver une primitive, c'est ça le plus compliqué. C'est toujours facile de dériver, trouver une primitive, des fois, ce n'est pas simple. Donc ça va être l'enjeu, souvent, de ce chapitre. Donc là, on se propose de calculer une intégrale, avec cet exercice là. Quelle est la méthode à appliquer ? D'abord, je trouve une primitive, et une fois que j'ai trouvé la primitive, c'est gagné, j'applique le théorème fondamental. Pour cette intégrale-là, c'est l'intégrale de 0 à pi de x² moins cos2x. Je vais chercher une primitive, déjà, je remarque que c'est une somme. La primitive d'une somme, c'est la somme des primitives. Il suffit juste de trouver la primitive de x², moins la primitive de cos2x. Bon, ça c'est assez simple. Du coup, une primitive de x², c'est x3, une primitive de cos2x, c'est ½ de sin2x. C'est bien une primitive de f. Alors, remarque, une primitive de coskx, c'est 1 sur k sinx, que j'anticipe. Parce que, toujours l'idée, c'est de dire, quand je dérive le sinx, il y a un k qui va apparaître. C'est pour ça que je mets 1 sur k pour contrer ce truc-là. Si jamais vous avez un doute, on revérifie, je prends cette primitive, et on revérifie que quand je dérive, je tombe bien sur la fonction initiale. Donc là, j'applique tout simplement le théorème fondamental. L'intégrale de 0 à pi de f2x dx, c'est f2x en pi moins f0. Donc là, je remplace tout simplement, je fais les calculs. Alors, attention, parce que ça, c'est une erreur vraiment typique. Ne vous trompez pas dans les moins, là. Moi, ce que je vous recommande, c'est d'abord d'écrire le moins avec des parenthèses, et ensuite, je développe. Parce que, franchement, les erreurs de signes, en appliquant le théorème de fondamental, c'est un classique, vraiment, que les élèves, l'erreur, ils le font toujours. Vraiment, même les bons élèves, ils tombent toujours dans le panneau une fois ou deux. Donc, faites comme vous voulez. Moi, ce que je vous recommande, c'est de ne pas vraiment faire dans sa tête les calculs de moins en moins. Je l'écris, j'écris moins, je mets des parenthèses, et après, je le vois. C'est en développant que là, je peux faire les trucs. C'est beaucoup plus facile de faire les calculs qu'on a sous les yeux que dans la tête. Donc là, qu'est-ce que je remarque ? Je remarque que le sinus de pi, c'est 0. Effectivement, on s'en fiche un peu, ça fait sinus de 0, donc je n'ai pas de problème de signes puisque c'est 0, mais voilà le principe. Donc là, quand je simplifie tout, ça fait pi au cube sur 3. Donc j'ai calculé l'intégral. Voilà pour ce premier calcul d'intégral.

Calcul d'Intégrale avec Primitive

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