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Linéarité d'une Intégrale
Dans ce cours, nous utilisons la linéarité de l'intégrale pour simplifier le calcul des primitives en séparant les termes.
Dans la première partie du cours, nous étudions une fonction f(x) = x^2. Nous devons montrer que la fonction F(x) proposée est une primitive de f(x). Nous utilisons la dérivation pour cela, en justifiant la dérivabilité sur R. Comme f(x) est un polynôme multiplié par une exponentielle, nous n'avons aucun problème de dérivabilité. En dérivant le produit, nous obtenons à nouveau f(x), ce qui confirme que F(x) est bien une primitive.
Ensuite, nous devons déterminer l'intégrale de 0 à 1 de la fonction 3t - 2e^x. Cependant, il y a une confusion dans l'énoncé, car il utilise le symbole "t" qui n'est pas défini. La véritable intégrale que nous devons calculer est de 3x - 2e^x. Pour trouver une primitive de cette fonction, nous utilisons la règle selon laquelle lorsque nous avons un polynôme multiplié par une exponentielle, nous utilisons systématiquement une intégration par parties pour réduire le degré du polynôme. Nous posons U(x) = 3x - 2 et sa dérivée est 3. La fonction V(x) est la même que U(x) car l'exponentielle est facile à primitiver. Nous avons donc tous les éléments pour faire notre intégration par parties.
En utilisant cette technique, nous obtenons une expression qui est plus facile à calculer. L'intégrale de 0 à 1 de 3e^(2x) devient très simple à intégrer. Nous obtenons finalement le résultat de l'intégrale sous forme numérique, qui est égal à 2e^5.
En résumé, lorsque nous avons un polynôme multiplié par une exponentielle, nous devons penser à utiliser l'intégration par parties. Cette méthode nous permet de simplifier le calcul des primitives.
