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La valeur moyenne d'une fonction est définie comme le nombre µ égal à 1 sur b-a fois l'intégrale de f entre les limites a et b, lorsque f est une fonction continue. Pour mieux comprendre cette notion, on peut la comparer à une moyenne arithmétique. L'intégrale entre a et b représente une somme infinie de rectangles infiniment petits, où chaque rectangle a une valeur correspondant à la fonction f. La somme de ces valeurs divisée par le nombre total de rectangles est similaire à la moyenne des notes de mathématiques des élèves de votre classe. Une autre façon de l'interpréter est de manière géométrique. On peut dire que µ est la valeur constante telle que l'aire sous la courbe de la fonction constante égale à µ soit égal à l'aire sous la courbe de f. Pour illustrer cela, on peut tracer un graphique représentant une fonction parabolique et la valeur moyenne correspond à la hauteur pour laquelle l'aire sous la courbe est égale à l'aire du rectangle ayant pour base la largeur de l'intervalle a-b et pour hauteur µ. Si la hauteur est trop basse, l'aire sera trop petite par rapport à l'aire sous la courbe et si la hauteur est trop élevée, l'aire sera trop grande. La valeur moyenne se situe entre ces deux extrêmes. J'espère que cela a clarifié votre compréhension de la valeur moyenne. Vous verrez dans les exercices comment l'appliquer et si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser.

Dans cette vidéo, je vais vous présenter ce qu'est la valeur moyenne d'une fonction. Alors, la définition très basique du cours, c'est soit f une fonction continue, on appelle valeur moyenne le nombre µ égale 1 sur b-a fois l'intégrale entre a et b de f. Très bien. Pour bien la comprendre, on peut voir le parallèle entre cette fonction, pas du tout cette fonction, ce nombre, pardon, et une moyenne arithmétique. Rappelez-vous que l'intégrale entre a et b, c'est en fait une somme, alors pour des éléments infiniment petits, mais qui sont un nombre infini, entre a et b, donc on prend une infinité de rectangles infiniment fins, entre a et b, on prend la somme. Et on divise ça par la taille totale du groupe de rectangles, si vous voulez, qui tient sur tout l'intervalle b-a. Et bien cette somme de valeur derrière le rectangle divisé par le nombre total de rectangles, enfin le groupe total, ça ressemble un peu à une somme des notes de maths des gens de votre classe divisée par le nombre total de gens. C'est ça un peu l'intuition derrière. Une autre manière de le voir, que j'aime bien, c'est de manière géométrique. On peut dire que μ, c'est la valeur constante, telle que si on prend μ comme une fonction constante, l'air sous la courbe de la fonction constante égale à μ, c'est-à-dire μ fois b-1, c'est un rectangle, soit égal à l'air sous la courbe f. Alors laissez-moi illustrer ça avec un petit graphe, mais c'est une deuxième manière de bien comprendre cette moyenne. Voilà, donc là je vous ai tracé une fonction entre 0.02 et 4.8, bon j'ai fait un peu au pif. Je vous ai mis une fonction parabolique. J'ai tracé ici la valeur moyenne. La valeur moyenne c'est laquelle donc, si je fais attention, c'est la valeur pour laquelle cette air là va être exactement égale à cette air-ci. L'air sous la courbe, c'est-à-dire donc l'intégrale entre a et b de f, va être égale à b-a, donc la largeur du rectangle ici, fois μ, la hauteur. Donc si je prenais une autre hauteur, plus haut, j'aurais une air qui est plus grosse que l'air sous la courbe f ici. Donc si je prenais un rectangle qui était plus bas, ça serait la même chose. Ça serait compliqué. Donc l'idée c'est que si je prends un rectangle qui est trop bas, j'ai une air qui est trop faible par rapport à l'air sous la courbe. Si je prends un rectangle qui est beaucoup trop haut, j'aurais une air beaucoup trop grosse. Mais entre ces deux cas extrêmes que je viens de décrire, il y a un moment où il y a un rectangle parfait, où les airs du rectangle et de la courbe sont égales. À ce moment, c'est la valeur moyenne. J'espère que ça a clarifié un peu votre vision sur la valeur moyenne. Vous verrez en exercice comment l'appliquer pour des méthodes... Enfin, vous verrez dans les vidéos de méthode comment l'appliquer en exo. Si vous avez des questions ici déjà sur la théorie, dites-moi. Dans la FAQ toujours, c'est ouvert. Et je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo.

Valeur Moyenne

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