Home

Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Applications et Calculs

Dans ce cours, nous apprenons comment calculer la valeur moyenne d'une fonction. Il y a deux exemples avec deux fonctions différentes, et les intervalles sur lesquels nous calculons la moyenne ne sont pas exactement les mêmes.

La valeur moyenne est définie comme l'intégrale de la fonction sur l'intervalle divisée par la largeur de l'intervalle. Par exemple, si la largeur de l'intervalle est de 4 (deux moins moins deux), alors le calcul de la valeur moyenne est simplement l'intégrale de la fonction sur cet intervalle divisée par 4.

Le problème principal est de trouver une primitive de la fonction à intégrer. Dans cet exemple, nous posons h(x) = x² + 3 et trouvons que H(x) = (1/3)*x³ + 3x est une primitive de h(x). Nous utilisons ensuite le théorème fondamental du calcul pour effectuer les calculs et obtenons une valeur de 13/3 pour la première intégrale.

Ensuite, nous voulons trouver la valeur moyenne de la fonction g(x) = x/(x² - 3), avec un intervalle de largeur 4-e. Encore une fois, le problème principal est de trouver une primitive de g(x). Nous remarquons que g(x) ressemble à un quotient, et en multipliant par 1/2*2, nous pouvons mettre la fonction sous la forme d'une dérivée logarithmique. Nous trouvons que k(x) = (1/2)*ln|x²-3| est une primitive de g(x). En effectuant les calculs, nous trouvons une expression pour la valeur moyenne qui n'est pas très agréable, mais qui a une forme explicite.
 
En résumé, pour calculer la valeur moyenne d'une fonction, il suffit d'appliquer la définition et de procéder à un simple calcul d'intégrale.

On va maintenant voir comment on fait un calcul de valeur moyenne pour une fonction. Donc on a deux exemples dans cette méthode, une première fonction f, une deuxième fonction g, et les intervalles sur lesquels on fait la moyenne ne sont pas exactement les mêmes. Donc déjà c'est quoi une valeur moyenne ? La valeur moyenne en fait c'est l'intégrale sur l'intervalle, c'est l'intégrale de ma fonction sur l'intervalle divisé par la largeur de l'intervalle. Donc typiquement, la largeur de l'intervalle ici entre moins de 2, ça fait 4. 2 moins moins 2, ça fait 4. Donc voilà le calcul que je vais faire. Evidemment ça, ça ne pose jamais de problème, c'est juste un facteur multiplicatif. Donc le problème c'est toujours le même, c'est de déterminer la primitive, une primitive de la fonction intégrale à l'intégrale. Donc je pose h égale à x² plus 3, grand H, bon là c'est facile, c'est un tiers de x³ plus 3x, c'est une primitive de petit h. Donc j'utilise mon théorème fondamental, je n'oublie pas le un quart, je fais mes calculs, donc comme d'habitude, on fait attention au moins ici de ne pas se tromper. Moi j'écris à chaque fois vraiment, je ne fais pas les calculs dans ma tête, je pose directement, je fais les calculs dans ma tête une fois que c'est écrit noir sur la feuille, comme ça c'est beaucoup plus simple. Et donc je trouve que ça fait 13 tiers. Voilà pour la première intégrale. Maintenant, on veut la valeur moyenne de g, sachant que g c'est x sur x²-3, et donc la largeur de l'intervalle c'est 4-e, donc je fais 1 sur 4-e, fois l'intégrale de e à 4 de x sur x²-3. Donc là, toujours, comme d'habitude, la difficulté c'est dans le calcul d'une primitive de g, donc là qu'est-ce que je remarque ? Je me dis, ah ça c'est un peu un quotient, un quotient, il y a de fortes chances qu'en m'emmenant à calculer une intégrale, je vois de la forme u' sur u. Là, c'est presque ça quoi, sachant que si il me manque c'est le 2, comme ça ça serait parfaitement u' sur u, bah c'est pas grave, je le fais apparaître, je dis que c'est 1 demi fois 2, et voilà, et là j'ai bien ma forme u' sur u, avec u qui est la forme x²-3. Et ça je sais que ma primitive c'est ln de valeur absolue de u. Donc très bien, une primitive de la fonction que j'appelle k, k de x égale x sur x²-3, c'est 1 demi de ln de valeur absolue de x²-3. Donc j'intègre sur l'intervalle, alors oui, là il faut se débarrasser de la valeur absolue qui est un peu gênante, où on est ? Là on intègre, mon primitive c'est de e à 4. Ok, donc de e à 4, qu'est-ce qui se passe ? De quel signe est x²-3 ? En fait, la plus petite valeur c'est e, qui est plus grand que racine de 3. Donc x est compris entre, là j'aurais pu mettre mais ça n'a pas d'intérêt, x est compris entre e et 4. Donc je le passe au carré, ça ne me fait que 3 plus petit que e² plus petit que x², et du coup j'ai bien x²-3, x² qui est supérieur à 3 donc x²-3 qui est supérieur à 0. Donc la valeur absolue je peux la faire sauter, c'est x²-3, pas besoin de la valeur absolue, sur l'intervalle considéré, qui est e4. Donc ça va être plus simple. Donc là maintenant ce n'est plus d'aller à l'application numérique avec mon théorème fondamental, je fais les calculs, il y a du ln qui apparaît. Bon, mon ln de 16-3 je pourrais éventuellement le simplifier, ça me fait du 13, c'est vrai que j'aurais pu, mais en dessous je ne peux rien faire. J'ai juste la propriété que ici ln de a, mon ln de b ça fait ln de a sur b, et je ne peux pas faire quelque chose de plus, mais donc, voilà, pour cette expression qui n'est pas hyper jolie, mais j'ai son expression explicite. Voilà pour des calculs de valeur moyenne de fonction. Il suffit juste d'appliquer la définition et ça revient à un simple calcul d'intégral.

Calcul Valeur Moyenne

RELATED

Recommended videos

Introduction

Intégration par Parties

Aire entre 2 courbes